发布时间 : 星期三 文章重庆市2017届中考数学复习几何初步第8节正方形试题更新完毕开始阅读6a3904c1f56527d3240c844769eae009591ba2d8
第八节 正方形
课标呈现 指引方向
1．理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系． 2．探索并证明正方形的性质定理：正方形具有矩形和菱形的一切性质， 考点梳理 夯实基础 1．正方形：
⑴正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，它具有四边形、平行四边形、矩形、菱形所有的性质，即： ①边：它的四条边___________； ②角：它的四个角___________；
③对角线：它的对角线______________________，并且每一条对角线平分___________； ④面积：它的面积等于______________________或___________； ⑤对称性：它的对称轴是_________________________________. ⑵正方形的判定
判定1：先证矩形，再证菱形，则证得正方形． 判定2：先证菱形，再证矩形，则证得正方形．
【答案】⑴①相等；②为直角；③互相垂直平分且相等，每一组对角；④两对角线乘积的一半，边长的平方；⑤对边中点所在的直线和对角线所在的直线 2．中点四边形：
⑴顺次连接四边形各边中点，所得的图形是___________； ⑵顺次连接矩形四边中点所得四边形是___________； ⑶顺次连接菱形四边中点所得四边形是___________； ⑷由此猜想：顺次连接___________的四边形四边中点所得四边形是矩形，顺次连接_______的四边形四边中点所得四边形是菱形．即新四边形的形状与原四边形的___________有关。 【答案】⑴平行四边形；⑵菱形；⑶矩形；⑷对角线垂直，对角线相等，对角线. 考点精析 专项突破
考点一 中点四边形 【例1】(2016德州)⑴如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形：
⑵如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想：
⑶若改变⑵中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)
解题点拨：⑴如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH＝FG即可． ⑵四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC＝BD，再证明EF＝FG即可．
⑶四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG＝90°，利用△APC≌△BPD．得∠ACP＝∠BDP．即可证明∠COD＝∠CPD＝90°，再根据平行线的性质即可证明． 【答案】解：⑴证明：如图1中，连接BD． ∵点E，H分别为边AB，DA的中点， 1
∴EH∥BD，EH＝BD，
2
∵点F，G分别为边BC，CD的中点， 1
∴FG∥BD，FG＝BD，
2
∴EH∥FG，EH＝GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形． ⑵四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD． ∵∠APB＝∠CPD．
∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD 即∠APC＝∠BPD．
??AP＝PB在△APC和△BPD中，?∠APC＝∠BPD
?PC＝PD?
∴△APC≌△BPD．
∴AC＝BD
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点， 11
∴EF＝AC,FG＝BD,∴EF＝FG,
22
∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形． ⑶四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M，AC与EH交于点N． ∵△APC≌△BPD．∴∠ACP＝∠BDP,
∵∠DMO＝∠CMP，∴∠COD＝∠CPD＝90°,
∵EH∥BD,AC∥HG,∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°， ∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．
考点二 正方形的性质与判定
【例2】(2016呼和浩特)如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、
G分别在AB、BC、FD上，若BF＝
6
，则小正方形的周长为( ) 2
565656106
B. C. D. 8623
A.
【答案】C
解题点拨：先利用勾股定理求出DF，再根据△BEF∽△CFD，得＝求出EF即可解决问题。 【例3】(2016攀枝花)如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：①∠ADG＝22.5°；③tan∠AED＝2；③S△AGD＝S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE＝2OG；⑥若S△OGF＝1．则正方形ABCD的面积是6＋42，其中正确的结论个数为( )
EFBFDFDC
A．2 B．3 C．4 D.5 【答案】B
解题点拨：①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD＝∠ADO＝45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数：
②由AE＝EF＜BE，可得AD＞2AE；
③由AG＝GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积：
④由折叠的性质与平行线的性质及计算角的度数，易得△AEG是等腰三角形，即可证得AE＝AG＝EF＝FG；
⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE＝2OG； ⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AE＝GF，再由∠BAO＝45°,∠GOF＝90°可得出△OGF是等腰直角三角形，由S△OGF＝1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公
式可得出结论．
【例4】(2015庆阳)如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G．且AE⊥EF． ⑴当AB＝2时，求△GEC的面积； ⑵求证：AE＝EF．
1
解题点拨：⑴首先根据△ABE∽△ECG得到AB:EC＝BE:GC，从而求得GC＝即可求得S△GEC；
2⑵取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF．从而得到AE＝EF； 【答案】
解：⑴∵AB＝BC＝2，点E为BC的中点，∴BE＝EC＝1， ∵AE⊥EF，∴△ABE∽△ECG，∴AB:EC＝BE:GC, 1
即：2：1＝1：GC，解得：GC＝，
21111
∴S△GEC＝EC·CG＝×1×＝；
2224
⑵证明：取AB的中点H，连接EH；
∵ABCD是正方形，AE⊥EF；
∴∠1＋∠AEB＝90°，∠2＋∠AEB＝90° ∴∠1＝∠2．
∵BH＝BE,∠BHE＝45°,且∠FCG＝45°, ∴∠AHE＝∠ECF＝135°,AH＝CE, ∴△AHE≌△ECF, ∴AE＝EF.
课堂训练 当堂检测
1．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( ) A．矩形 B．等腰梯形
C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直 【答案】C
2．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④ 【答案】B
3．(2016齐齐哈尔)有一面积为53的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为