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几种谐振动模型的讨论与求解
研究性学习课题类别:中学物理 研究小组成员:纪正
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数学预备知识
1.微分:
dsinx?cosxdxdcosx??sinxdxdex?exdxd1??dxxx2dlnx?1dxx
2.常系数高阶线性微分方程的解法
(此处只给出特征方程解法)
对于n阶线性常系数微分方程
y(n)?a1y(n?1)?其特征方程
?an?1y???any?+an?1y?0y?f(x),
?n?a1?n?1??an??an?1?0 (*)
假设在复数域内有n个不同的解:
?1??2???n
则该线性常微分方程的通解为
y?C1e?1x?C2e?2x??Cne?nx
由于之后推导公式需要,给出引理
引理 若方程(*)的解中有两个共轭复根?i?,则利用欧拉公式
e?ix?cosx?isinx,因为解之间是线性无关的,所以取实部和虚部,就得
到两个实值解cosx和sinx,它们与原有的n-2个实值解构成了一个实的基本解组.所以,原方程的通解是
y?C1e?1x?C2e?2x?(以上
12?C?1cos?x?C?2sin?x??Cne?nx皆为任意常数)
C1,C2,,C?,C?,,Cn3.取近似
n?1?nxx1,n?Q,(1?x)(1)
(2)
x?0,tanx?sinx?x,cosx?1
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弹簧振子模型
1. 基本公式推导 (1)
如图1-1(a)所示
光滑水平面上有一弹簧一端固定在墙壁上,另一端固定一个质量为m的物块,弹簧的劲度系数为k.
现将物块向右移动一小段距离A,如图1-1(b)所示,松开手,让物块开始运动,此时
物块的动力学方程为
F??kx,F?ma,
则可得
ma?kx?0
2xdm2?kx?0即dt
解该微分方程的特征方程
m?2?k??
得
?1?ikkk,?2??i?0mm(m)
由引理结论,则微分方程的通解为
x?C1coskt?C2sinktmm
由初始条件
t=0时,
?x?A?0?v?0??0,
C?解得,1A,C2?0.
所以,微分方程在此时的特解为
x?Acosktm
所以速度大小为
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v?Aksinktmm
即表示,该振动的周期为
T?2?mk,振幅为A,振动过程中物块最大速度为
vmax?Akm. (2)弹簧的串联
若两个弹簧首尾相接(串联)且劲度系数分别为1k,k2,则连接后的弹簧的劲
k1k2k?k1?k2.
度系数为
若两个弹簧并排连接(并联)且劲度系数分别为1k,k2,则连接后的弹簧的劲
12. 度系数为
以上公式以及说明即为以后常用公式.
k?k?k第一类模型 二体弹簧振子模型ABCD
A(最基本模型)
如图1-2(a)图所示,无限大的光滑水平面上,有两个相同的物块用弹簧连接在一起,物块质量均为m,弹簧的劲度系数为k,弹簧原长为l0。将这两个物块拉开一段距离2A。求解其运动方程以及其振动周期
T。
【分析与解】二体运动一般可以在质心系中进行求解。本模型中两个物块的质量相同,所以质心在两物块连线中点,以质心建立质心参考系,如图1-2(b)所示。 初始条件为:
t=0时刻
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