发布时间 : 星期二 文章高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第6讲抛物线配套练习文北师大版更新完毕开始阅读6a937228c9d376eeaeaad1f34693daef5ff7132a
第6讲 抛物线
一、选择题
1．(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥
2
kxx轴，则k＝
( )
13
A. B．1 C. D．2 22
解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，由PF⊥x轴知，|PF|＝2，所以P点的坐标为(1,2)，代入曲线y＝(k>0)得k＝2，故选D. 答案 D
2．点M(5,3)到抛物线y＝ax(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )
A．y＝12x C．y＝－36x
22
2
kxB．y＝12x或y＝－36x 1212
D．y＝x或y＝－x
1236
22
1212
解析 分两类a>0，a<0可得y＝x，y＝－x.
1236答案 D
3．(2017·宜春诊断)过抛物线y＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝
( )
A．9 C．7
2
2
B．8 D．6
解析 抛物线y＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B. 答案 B
4．已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交→→
点．若FP＝4FQ，则|QF|等于
( )
7A. 2C．3 解析
5B. 2D．2
2
→→∵FP＝4FQ，
|PQ|3→→
∴|FP|＝4|FQ|，∴＝.
|PF|4如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′， 设l与x轴的交点为A，
|PQ||QQ′|3
则|AF|＝4，∴＝＝，
|PF||AF|4
∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C. 答案 C
5．(2017·衡水金卷)已知抛物线y＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，
2
y2)两点，则y21＋y2的最小值为
2
( )
A．12 C．16
B．24 D．32
??x＝4，解析 当直线的斜率不存在时，其方程为x＝4，由?2
?y＝4x，?
得y1＝－4，y2＝4，∴
2
??y＝4x，22
y1＋y2＝32.当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)，由?
?y＝kx－4?
，
得
22
ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－16，∴y21＋y2＝(y1＋y2)－2y1y2＝2＋32＞32，
kk416
综上可知，y1＋y2≥32.∴y1＋y2的最小值为32.故选D. 答案 D 二、填空题
6．(2016·兰州诊断)抛物线y＝－12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三
93角形的面积等于________．
解析 由图可知弦长|AB|＝23，三角形的高为3， 1
∴面积为S＝×23×3＝33.
2
2
2222
x2y2
答案 33
7．(2017·安徽四校三联)过抛物线y＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，
2
B两点，则弦长|AB|为________．
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是y??y＝4x，
＝x－1，联立?
??y＝x－1，
2
消去y得x－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋
2
x2＋p＝6＋2＝8.
答案 8
8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
解析
建立如图平面直角坐标系，设抛物方程为x＝－2py(p＞0)．
由题意将点A(2，－2)代入x＝－2py，得p＝1，故x＝－2y.设B(x，－3)，代入x＝－2y中，得x＝6，故水面宽为26米． 答案 26 三、解答题
9．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：
2
2
2
2
y2＝2px(p＞0)．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程； (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)； ②求p的取值范围．
(1)解 ∵l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2,0)． 即抛物线的焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4.
2∴抛物线C的方程为y＝8x.
(2)①证明 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
2
p??y1＝2px1，则?2
??y2＝2px2，
2
??
则?yx＝??2p，
2
2
2
y21
x1＝，2p
∴kPQ＝
y1－y22p， 22＝
y1y2y1＋y2
－2p2p又∵P，Q关于l对称．∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2p， ∴∴
y1＋y2
22
＝－p，又∵PQ的中点一定在l上， ＝＋2＝2－p.
x1＋x2y1＋y2
2
∴线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)． ②解 ∵PQ的中点为(2－p，－p)，
y1＋y2＝－2p，??2∴?y21＋y2
x1＋x2＝＝4－2p，?2p?
??y1＋y2＝－2p，即?222
?y1＋y2＝8p－4p，?
2
2
??y1＋y2＝－2p，
∴?2
?y1y2＝4p－4p，?
即关于y的方程y＋2py＋4p－4p＝0，有两个不等实根．∴Δ＞0. 422
即(2p)－4(4p－4p)＞0，解得0＜p＜，
3