发布时间 : 星期一 文章点集拓扑(答案)更新完毕开始阅读6aa40d7a1711cc7931b716b0
选择公理定义：设X是一个集合。记X?为X中的所有非空子集构成的集族，即
X???(X)?{?}。如果一个映射?：
X??X满足条件：对于任意A?X?，有?(A)?A ，则此映射?称为集合X的一
个选择函数。任何一个函数都有选择函数就是选择公理。
1.设X和Y是两个集合。证明：cardY?cardX当且仅当存在一个从X到Y的满射。
证：设cardY?cardX，即存在一个Y到X的一一映射f，定义g：X?Y，使
g(x)???f?1(x)当x?fY()其中y?y0为Y0当x?f(Y)中一固定元，则g是从X到Y上的映射。
反之，若存在从X到Y上的映射g，记
??{A?1y:y?Y,g(y)?Ay}则?是X中非空族，并且?中成员两两无交，由
Zermelo假定存在集合C?X，使得对于每一A??，A?C是单点集，所以存在C到Y上的一一映射，即C?cY，又
C?cY，故Y?cX。
2.设T1和T2是集合X的两个拓扑。证明T1?T2也是集合X的拓扑。举例说明T1?T2可以不是X的拓扑。
证：若T1，T2都是X的拓扑，由于?,X?T1,T2，所以?,X?T1?T2；任意A,B?T1?T2,即A,B?T1,T2，所以A?B?T1?T2，任意T?T1?T2，即T?T1,T2，即，则
?T1,T2，所以
A?A?T?A?T1?T2，因此T1?T2是X的拓扑。
A?T例：设X?{a,b,c，}T1={{a}，{b,c}, {a,b,c},?}，T2={{b}，{a,c},{a,b,c},?}易
见T1,T2都是
X
的拓扑，但
T1?T2?{{a}，{a,c},{b,c},{a,b,c},?}，而
{a},{b}?T1?T2，{a,b}?{a}?{b}?T1 ?T2，因此T1?T2不是X的拓扑。
3.设(X,T)是一个拓扑空间，其中?是任
何一个不属于
X
的元素。令
X??X?{?}，T?T?{X?}。证明(X?,T)是一个拓扑空间。
证：显然?,X??T；任意A,B?T，若A，B中有一个为X?，显然A?B?T；若A,B?T，则A?B?T?T，故总有
A?B?T；任意T1?T，若X??T1，则
?X??T；若X??T1，即T1?T，
A?A?T1也有
A?A?T?T，故总有?T?A?T，所
1A?T1以(X?,T)为拓扑空间。
4.证明实数集R有一个拓扑以集族
{[a,+?)a?R}?{(??,b]b?R}为它的
一个基，并说明这个拓扑的特点。
证：记P?{(??,a]:a?R}?{[b,??):
b?R}。因为R??S?TS?(??a,?] [a,+?)?R。所以?S?TS，由定理知，存
在R的唯一拓扑T以P为子基。任意x?R，因为(??,x]，[x,+?)?P?T所以{x}?(??,x]?[x,+?)?T，即R的每一单点集皆为开集，因此T是R的离散拓扑。
5.如果Y是拓扑空间X的一个开子集，则Y作为X的子空间时特别称为X的开子空间。证明：（1）如果Y是拓扑空间X的一个开子空间，则A?Y是Y中的一个开集当且仅当A是X的一个开集。
证：设Y为X的开子空间，A?X，则A?A?Y为Y的开集；反之，若A为Y的开集，则存在X的开集B使A?B?Y，而Y为X的开集，所以A为X的开集。 有限补空间。
设X是一个集合。首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不是每次提起。因此在后文中对于X的每一
个子集A，它的补集我们写为A'。令T=?U?X∣? ????
先验证T是X的一个拓扑：（1）
X?T，因为X'=?；另外，根据定义便有??T。（2）设A,B?T，如果A,B之中有一个是空集，则A?B???T。假定A,B都不是空集。这时
A?B）’‘=?A’是X的一个有限子集，所以A?B?T。（3）设T1?T。令
（T2?T1????。显然有A=A??T?A如果
1A?T2T2=?，则
A?A=?T?A???T,设
1A?T2T2??。任意选取A0?T2。这时
(?A)'=(?A)'=?A'?A'0是X的
A?T1A?T2 A?T2一个有限子集，所以?A?TA?T。根据
1上述是X的一个拓扑，称之为X的有限补拓扑。拓扑空间(X,T)称为一个有限空间。
可数补空间。
设X是一个集合。令
T??U?X∣U'是一个有限可数子集??? ??通过与例2.2.4中完全类似的做法容
易验证（请读者自证）T是X的一个拓扑，称之为X的可数补拓扑。拓扑空间(X,T)成为一个可数补空间。
6,、证明：1、从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射。2、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射。
证：1、设f:X?Y为从拓扑空间X到平庸空间Y的映射，因为
f（-1?）=?f（-1Y）= X，而Y为平庸空间，所以Y中任一开集的原像都是X的开集，即f为连续映射。 2、设f:X?Y为从离散空间X到任一拓扑空间Y的映射，对Y中每开集U，因为X为离散空间，所以f?1(U)是X的开集，即f是连续映射。
7、设X和Y是两个拓扑空间，f:X?Y。证明一下两个等价。（1）、f连续。（2）、对于Y的任一子集B，B的内部的原像包含于B的原像的内部，
即：f?1(i(B))?i(f?1(B))。
证明：对于任意B?Y,~B?Y，由定理
知，有
f
连续当且仅当
f?1(c(~B))?c(f?1(~B))当且仅当
f?1(i(B))=f?1(~(c(~B)))=f?1(c(~B))?~c(f?1(~B))=~c(~f?1(B))=i(f?1(B))。
8、证明离散的拓扑空间中的序列{xi}收敛
的充分必要条件是存在N?N，使得当i,j>N时xi?xj。
证明：充分性显然。必要性，设离散的拓扑空间X中的序列{xi}收敛于x,因{x}为x的开领域，所以存在N?N使得当i?N时，xi?{x}，即当i>N时，xi=x，因此当i,j>N时，xj=xi=x.
9、设X1和X2是两个拓扑空间，X1*X2是它们的积空间。证明对于任何A?X1，B?X2有A?B?A?B。
证明：设x?(x1,x2)?A?B，对于任意开领域U?UX1，V?Ux2，U*V?Ux，
从
而
(U?V)?（A?B）=(U?B)?(U?A) ??即U?A ??，(U?B)? ?，则x1?A,x2?B。故
x?(x1,x2)?B，A?B?A?B。反
之，设x?(x1,x2)?
A?B，x1?A，x2?B。对任意开领域
W?UX,存在U?UX1，V?U?x2，W=U*V,由于(U?A) ?，
(U?B)??(U?A)
（?U?B）=W?（A?B）??,所以x?A?B，故A?B?A?B。所以得
证。
nnB?(?Ai)??(B?Ai)10.证明：
i?1i?1nn
B?(?Ai)??(B?Ai)i?1i?1nn(1) x?B?(?Ai)?x?B且x??Ai
i?1i?1?x?B且x?Ai(i?1,2,?,n)对任何i，x?B且x?Ai?对任何i。
nx?B?Ai?x??(B?Ai)
i?1nn所以B?(?Ai)??(B?Ai)。
i?1i?1nn(2) x?B?(?Ai)?x?B且x??Ai
i?1i?1?x?B且存在i，x?Ai?存在i，使x?B且x?Ai?存在i，使x?B?Ai
n??(B?Ai)。
i?1nn所以B?(?Ai)??(B?Ai)
i?1i?111.N为自然数，令An?{n,n?1,?}，n?1,2,?。并令T?{?,A1,A2,?}
（1）证明T为N的拓扑。（2）写出
1?N的所有开邻域。
证：（1）显然?，N?A1?T，又
??An???T，n?1,2,?，任意
T1?T2，?A?TAn?Amin{n:An?T1}?T因此
n1T为N的拓扑。（2）的唯一的开邻域为A1?N。
设x1,x2和x3都是拓扑空间。证明： 1）积空间X1?X2同胚于积空间
X2?X1；
2）积空间(X1?X2)?X3同胚于积空间
X1?(X2?X3)；
3）如果X1?空集并且空间X1?X2同胚于积空间X1?X2，则X2同胚于X3；
证明：（1）定义f:X1?X2?X2?X1使f(x)?f((x1,x2))?(x2,x1)，x?(x1,x2)?X1?X2，显然f为在空间
上
的一一映
射，又
p1?f?p2,p2?f?p1,皆为连续映射，
故f连续，类似可证f?1也连续，即f是
同胚，故X1?X2同胚于积空间X2?X1 （2）由定理3.2.9，知X1?X2?X3同胚于
(X1?X2)?X3，下证明X1?X2?X3同胚于X1?(X2?X3)；记X1?X2?X3向X1,X2,X3的投影分别为Px1,Px2,Px3，X2?X3向X2,X3的投影分别为
P,x2,P,x3，将X1?(X2?X)3向X1，X2?X3投影分别记为P1,P2，则这些投影
皆为连续映射，定义映射f:X1?X2?X3?X1?(X2?X3)，使得任
意
(x1,x2?,x3?)X1?，Xf(x1,x2,x3)=(x1,(x2,x3))?
X1?(X2?X3),显然f是在空间上的一一
映射。又P?P,1?fx1，Px2?P2?f?Px2，P,2?P2?f?P2都为连续映射，故P2?f连续，所以f为连续映射，类似可证f?1也为连续映射，故f为同胚，即X1?X2?X3同胚于X1?(X2?X3)。 （4）由题意知存在同胚f:X1?X2?X1?X3,取???x1，则{?}?X2?X1?X由23.1习题8（1）f|??X2:{?}?X2?{?}?X3是一个同
胚，令g:X2?{?}?X2，对任何
x?X2,g(?x)?(是,x一)个同胚。作h:X2?X3,h(x)?P2?f|??X2?g(x)是
一个同胚，其中P2是{?}?X3的第二个投 射。
3.1证明：离散空间（平庸空间）的任何一个商空间都是离散空间（平庸空间）
证明：（1）设(X,?)是离散空间。
(X/R,?1)是商空间，则?1是相对于自然的投射p:X?X/R而言的商拓扑，对
任何U?X/R，有P?1(u)??(x)，所以P?1(u)??，于是u??1，?(X/R)??1，即?1??(X/R)，所以
(X/R,?1)是离散空间（2）设(X,?)是平庸空间，(X/R?,R是)商空间，若??u??R,有p?1(u)???{?,X},于是p?1(u)?X，由p是满射，
u?(P(p)?up(X?)X/.R于是?R?{XR/?，所以,(X/R,?R)是平庸空间。
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