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数学广角——植树问题整理与复习
整理：刘新民
一、基础知识整理
植树问题的基本数量关系：棵距×间隔数=总距离。一般分两种情况： （一）、在一条线段上一边植树，有三种情况： 1、两端都植的解题方法：
棵数=间隔数+1（开头的树）；棵距=总距离÷（棵数-1）；总距离=棵距×（棵数-1）；总距离÷棵距=间隔数
2、一端植，另一端不植的解题方法：
棵数=间隔数；总距离÷棵距=间隔数；总距离=间隔数×棵距 3、两断都不植的解题方法：
棵数=间隔数-1（末尾的树）；总距离=棵距×（棵数+1）；棵距=总距离÷（棵数+1）；总距离÷棵距=间隔数
解决植树问题的关键要弄清以下两点：
1、是否两旁都要植树，如果两边都植树还要乘2。 2、理清棵数与间隔数之间的关系。 （二）、在封闭图形上植树也有两种情况： 1、在曲线图形上植树的解题方法：
棵数=间隔数；总距离÷棵距=间隔数；总距离=间隔数×棵数 2、在多边形上植树的解题方法： 棵数=每边上的树×边数-顶点数
注意：在封闭图形上植树相当与在一条线段上植树中一端植一端不植的情况。 二、例题讲解：
例1：在一条100米的跑道的一侧从头到尾每隔5ｍ插一面红旗，一共需要准备多少面红旗？
分析与解答：这道题属于在一条线段一边植树两端都植的问题，所以红旗的面数=间隔数+1，关键求出间隔数，由于间隔数=总距离÷棵距=100÷5=20（个），那么一共需要准备的红旗数=20+1=21（面）
例2：某市政公司要在一条公路两旁等距离安装路灯（两端都不安装），每两盏
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路灯相隔25ｍ，一共装了40盏灯。这条路长多少米？
分析与解答：解答这道题应先求出每边装的路灯数，即每边装了40÷2=20（盏），又由于两端不装，那么间隔数应该比路灯数多1，即间隔数=20+1=21（个），再根据“总距离=间隔数×棵距”来算出这条路长，所以这条路长=25×21=525（ｍ） 例3：南门幼儿园要在长88ｍ，宽40ｍ的长方形的操场四周栽树，要求四角各栽一棵，并且每相邻两棵树的距离是4ｍ。共要准备多少棵树苗？
分析与解答：解答这道题的关键是求出它的周长，即长方形的周长=（88+40）×2=256（ｍ），又因为是在封闭图形上植树，所以间隔数和棵数相等，即棵数=256÷4=64（棵）
例4：有一正方形草坪，草坪的每边栽了10棵松树（每个顶点都栽一棵）若每两棵松树间隔5ｍ，沿着这个正方形的草坪走一圈要走多少米？
分析与解答：解决这道题的关键是先求出共栽了多少棵松树，因为每边栽了10棵松树，那么四边共栽了10×4=40（棵），由于顶点上的4棵计算了2次，所以实际共栽了40-4=36（棵），则沿着这个正方形的草坪走一圈要走36×5=180（ｍ） 例5：王师傅匀速锯一根粗细均匀的木头，锯成4段要12分钟，如果锯成8段要几分钟？
分析与解答：锯木头问题相当于在一条线段上栽树两端都不栽的情况，所以锯的次数比间隔数少1，即锯成4段锯了4-1=3（次），那么锯一次用12÷3=4（分钟），同理锯成8段锯了8-1=7（次），则要4×7=28（分钟）
例6：从1楼走到3楼共要走18级台阶，如果每上一层楼的台阶数都相等，那么从1楼走到6楼共要走多少级台阶？
分析与解答：解决这道题的关键就是求出每层有多少级台阶，由于从1楼走到3楼。走了3-1=2（层），故每层有18÷2=9（级），又因为从1楼走到6楼，那么走了6-1=5（层），那么共要走9×5=45（级）台阶。
例7：一个圆形池塘周围长500ｍ，在池塘的周围每隔10米栽一棵柳树，每2棵柳树中间又栽2棵桃树。池塘周围一共栽了多少棵柳树和桃树？
分析与解答：这道题属于在封闭图形上栽树，因此柳树的棵数等于间隔数。即柳树有500÷10=50（棵）；每2棵柳树中间又栽2棵桃树，所以栽有桃树50×2=100（棵）
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例8. 两棵大树之间相距160ｍ，园林部门计划在两棵大树中间均匀地补上39棵小树，每两棵小树之间相距多少米？
分析与解答：因为是在两棵树之间补39棵小树，所以两端没有栽，所以间隔数比棵数多1，即间隔数=39+1=40（个），再根据“棵距=总路长÷间隔数”进行计算，那么每两棵小树之间相距160÷40=4（ｍ）。
例9. 一块正方形地，沿四周每隔8ｍ种一棵树（四个顶点都栽）一共栽了100棵树，已知这块地里种的玉米共收28吨，求这块地平均每公顷收玉米多少吨。 分析与解答：解决此题的关键是求出正方形的面积，要求它的面积就要先求正方形的边长，因为是在封闭图形上植树，所以棵数等于间隔数，那么正方形的周长=100×8=800（ｍ），则它的边长=800÷4=200（ｍ），故正方形的面积为200×200=40000（ｍ2）=4（公顷），那么这块地平均每公顷收玉米28÷4=7（吨）。 例10. 一条彩带长125㎝，在这条彩带上等距离地绣26个五角星，两端都绣，每相邻两个五角星之间的距离是多少厘米？
分析与解答：因为两端都绣，所以间隔数比五角星的个数少1个，即间隔数=26-1=25（个），那么每相邻两个五角星之间的距离是125÷25=5（厘米）。 三、同步练习：
1. 同学们在长30ｍ的小路两侧栽树，每隔2ｍ栽一棵。 （1）. 如果小路两端都栽树，一共需要栽多少棵？
（2）. 如果小路两端都不栽树，一共需要栽多少棵？
2. 学校组织学生排成一个正方形方阵进行团体操比赛，最外层共站了60人，这个正方形方阵共有多少人？
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3. 一条甬路长40ｍ，绿化队准备把7棵树苗在甬路的一侧均匀地栽成一行（两端不栽），求每相邻两棵树苗之间的距离。
4. 要在一个等边三角形的水池边上摆花盆，使每条边都有8盆花最少需要多少盆花？
5. 一个圆形花坛，周长是80ｍ，每隔5ｍ摆一盆月季花，每相邻两盆月季花中间摆一盆兰花，一共需要多少盆花？
6. 一个灯塔上的信号灯闪5次用了20秒。30秒最多能闪几次？
7. 沿一个正方形地的四周栽树，每隔12ｍ栽1棵（四个顶点都栽），共栽了100棵，这块正方形地的面积是多少公顷？
8. 一块正方形的草坪的边长是8ｍ，四周有一条1ｍ宽的小路。在小路靠着草坪的一侧每隔1ｍ放1盆红花，四个顶点都要放。在小路的另一侧每隔2ｍ放一盆黄花，四个顶点也都要放。一共需要多少盆花？
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9. 绿化队在一条南北走向的大道两边从头到尾栽树，路东栽杨树91棵每相邻两棵杨树之间相距10ｍ。路西栽柳树，每相邻两棵柳树之间相距9ｍ。路西栽了多少棵柳树？
10. 在一条长160ｍ的甬路一侧每隔8ｍ栽一棵紫丁香（两端都栽），每相邻两棵紫丁香中间栽一棵迎春花，一共栽了多少棵迎春花？
11. 同学们站队做广播体操，其中一列纵队长26ｍ，每相邻两名同学之间的距离是2ｍ。这列纵队一共有多少名同学？
12. 一排椅子共有15个座位，小力过来时，一部分座位已经有人就座。小力发现他无论坐在哪个座位，都会与已经就座的人相邻。在小力过来之前，已经就座的最少有多少人？
13. 一条路的一侧原有46根木电线杆（两端都有），每相邻两根木电线杆之间相距12ｍ。现在要全部换成水泥电线杆，如果每相邻两各水泥电线杆之间相距20ｍ，那么需要多少根水泥电线杆？
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