发布时间 : 星期三 文章2003年—2010年山西省压轴题更新完毕开始阅读6acebf2d58eef8c75fbfc77da26925c52cc5918e
2003年—2010年山西省压轴题
1. (2003年14分）
如图，已知圆心A（0，3），⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N。
（1）若sin?OAB?4，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析5式。
（2）若⊙A的位置大小不变，⊙B的圆心在x轴的正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究： <1>四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明。
<2>经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，说明理由。
1 解：（1）在Rt?AOB中，?OA?3，sin?OAB? ?cos?OAB?4 53 5 ?AB?5，OB?4，BP?5?3?2 在Rt?APM中，
AP3?cos?OAB? AM5 ?AM?5，OM?2 点M(0，?2)（2分） 又?NPB~?AOB ?BNAB?BPOB?BN?5?25? 42 ?ON?OB?BN?4? ?点N(，0)（4分）
53? 2232 设MP的解析式为y?kx?b
?MP经过M、N两点
?b??2? ?得?3
?k?b?0?2?b??2? 解之，得?4
?k?3? ?MP的解析式为y?4x?2（6分） 3 设过M、N、B的抛物线解析式为y?a(x? 且点M(0，?2)，可得a??3)(x?4) 21 332 ?抛物线的解析式为y??(x?)(x?4) 即y??131211x?x?2（8分） 36 （2）<1>四边形OMCB是矩形。（9分）
证明：在⊙A不动、⊙B运动变化过程中，
恒有?BAO??MAP，OA?AP，?AOB??APM?90? ??AOB??APM，?OB?PM，AB?AM ?PB?OM，而PB?PC，?OM?BC（10分） 由切线长定理知MC＝MP，?MC?OB ?四边形MOBC是平行四边形。（11分）
又??MOB?90?，?四边形MOBC是矩形。（12分） <2>存在。由上证明可知
Rt?MON?Rt?BPN，?BN?MN
因此在过M、N、B三点的抛物线内有以BN为腰的等腰三角形MNB存在 由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点M'与M关于其对称轴对称 ?BN?BM'
这样得到满足条件的三角形有两个，?MNB和?M'NB（14分） 2（2004年14分） 已知次函数y?12x?bx?c的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于点B（-1，0）和2点C，顶点为P. （1） 求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系 中画出该二次函数的图象； （2） 设D为线段OC上的一点，满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标； （3） 在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆
y 与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存 在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
5 4 3 2 1
2．（1）解：∵二次函数y?-3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3 x 12x?bx?c的图象过点A（-3，6），B（-1，0） 2（第28题）
?9?3b?c?6?b??1??2?得? 解得?3
1c????b?c?0??2??2∴这个二次函数的解析式为：y?123x?x?……（4分） 22y A 6 5 4 3 2 ME -H 1 C B F M -2 -1 0 1 D 2 3 -1 G -2 T P S 由解析式可求P（1，-2），C（3，0）（5分）
x 画出二次函数的图象…（6分）（第28题）
（2）解法一：易证：∠ACB=∠PCD=45° 又已知：∠DPC=∠BAC
∴△DPC∽△BAC………（8分） ∴
DCPC? BCAC易求AC?62,PC?22,BC?4 ∴DC?445 ∴OD?3?? 333∴D?,0?…（10分）
解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E.
设抛物线的对称轴交x轴于F. 亦可证△AEB∽△PFD.（8分） ∴
?5?3??PEEB?. PFFD225 ∴OD??1? 333易求：AE=6，EB=2，PF=2 ∴FD?∴D?,0?（10分）
（3）存在.
（1°）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T
∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心， ∴MG=MH=OM……（11分） 又∵MC??5?3??2OM且OM+MC=OC
∴2OM?OM?3,得OM?32?3 ∴M32?3,0…（12分）
（2°）在x轴的负半轴上，存在一点M′ 同理OM′+OC=M′C，OM??OC?得OM??32?3
∴M′?32?3,0………（14分）
即在x轴上存在满足条件的两个点.
说明：只写出M、M′的坐标，没有过程的，不得分.
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