发布时间 : 星期日 文章(全国通用版)2020高考数学二轮复习 专题二 数列 第3讲 数列的综合问题学案 理更新完毕开始阅读6b008325534de518964bcf84b9d528ea80c72ff3
第3讲 数列的综合问题
[考情考向分析] 1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力．
热点一 利用Sn，an的关系式求an 1．数列{an}中，an与Sn的关系
??S1，n＝1，an＝?
?Sn－Sn－1，n≥2.?
2．求数列通项的常用方法
(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．
(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.
(3)在已知数列{an}中，满足列的通项an.
(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．
例1 已知等差数列{an}中，a2＝2，a3＋a5＝8，数列{bn}中，b1＝2，其前n项和Sn满足：bn＋1
an＋1
＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数an＝Sn＋2(n∈N)．
*
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 解 (1)∵a2＝2，a3＋a5＝8，
∴2＋d＋2＋3d＝8，∴d＝1，∴an＝n(n∈N)． ∵bn＋1＝Sn＋2(n∈N)，① ∴bn＝Sn－1＋2(n∈N，n≥2)．②
由①－②，得bn＋1－bn＝Sn－Sn－1＝bn(n∈N，n≥2)， ∴bn＋1＝2bn(n∈N，n≥2)．
1
*
*
**
*
anbn∵b1＝2，b2＝2b1，
∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴bn＝2(n∈N)． (2)由cn＝＝n，
bn2
123n－1n得Tn＝＋2＋3＋…＋n－1＋n，
222221123n－1nTn＝2＋3＋4＋…＋n＋n＋1， 222222两式相减，得
1111n2＋nTn＝＋2＋…＋n－n＋1＝1－n＋1， 222222∴Tn＝2－
n*
annn＋2
2
n(n∈N)．
*
思维升华 给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为
an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再
求an.
跟踪演练1 (2018·绵阳诊断性考试)已知数列{an}的前n项和Sn满足：a1an＝S1＋Sn. (1)求数列{an}的通项公式；
?an?
??的前n项和为Tn，试问当n为何值时，Tn最小？并求出最小值． log (2)若an>0，数列2
32??
解 (1)由已知a1an＝S1＋Sn，①
可得当n＝1时，a1＝a1＋a1，解得a1＝0或a1＝2， 当n≥2时，由已知可得a1an－1＝S1＋Sn－1，② ①－②得a1(an－an－1)＝an.
若a1＝0，则an＝0，此时数列{an}的通项公式为an＝0. 若a1＝2，则2(an－an－1)＝an，化简得an＝2an－1， 即此时数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列， 故an＝2(n∈N)．
综上所述，数列{an}的通项公式为an＝0或an＝2. (2)因为an>0，故an＝2. 设bn＝log2
，则bn＝n－5，显然{bn}是等差数列，
32
nnn*
2
an由n－5≥0，解得n≥5，所以当n＝4或n＝5时，Tn最小，
2
5(－4＋0)
最小值为T4＝T5＝＝－10.
2热点二 数列与函数、不等式的综合问题
数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．
例2 (2018·遵义联考)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x?1＋λx?
1＋x. (1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；
(2)设数列{a＝1＋1111
n}的通项an2＋3＋…＋n，证明：a2n－an＋4n>ln 2. (1)解 由已知可得f(0)＝0， ∵f(x)＝ln(1＋x)－
x?1＋λx?
1＋x，
∴f′(x)＝?1－2λ?x－λx2
?1＋x?
2
，且f′(0)＝0. ①若λ≤0，则当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴f(x)≥f(0)＝0，不合题意； ②若0<λ<1
2
，
则当0
∴当0
，
则当x>0时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x≥0时，f(x)≤f(0)＝0，符合题意． 综上，λ≥1
2
.
∴实数λ的最小值为1
2
. (2)证明 由于a1111111
2n－an＋4n＝n＋1＋n＋2＋n＋3＋…＋2n－1＋2n＋4n，若λ＝12，由(1)知，f(x)＝ln(1＋x)－x?2＋x?
2＋2x，
且当x>0时，f(x)<0，
3
即
x?2＋x?
>ln(1＋x)， 2＋2x12n＋1n＋1令x＝，则>ln ，
n2n?n＋1?n11n＋1∴＋>ln ， 2n2?n＋1?n11n＋2
＋>ln ，
2?n＋1?2?n＋2?n＋111n＋3
＋>ln ，
2?n＋2?2?n＋3?n＋2…，
112n＋>ln . 2?2n－1?4n2n－1以上各式两边分别相加可得
11111111＋＋＋＋＋＋…＋＋ 2n2?n＋1?2?n＋1?2?n＋2?2?n＋2?2?n＋3?2?2n－1?4n>ln 即
n＋1n＋2n＋32n＋ln ＋ln ＋…＋ln ， nn＋1n＋22n－1
111111＋＋＋…＋＋＋ n＋1n＋2n＋32n－12n4n>ln
n＋1n＋2n＋32n2n···…·＝ln ＝ln 2， nn＋1n＋22n－1n1
∴a2n－an＋>ln 2. 4n思维升华 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点
(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视． (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件． (3)不等关系证明中进行适当的放缩．
跟踪演练2 (2018·南昌模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N)，满足S4＝2a4－1，
*
S3＝2a3－1.
(1)求{an}的通项公式；
111*
(2)记bn＝log2(an·an＋1)(n∈N)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：＋＋…＋<2. T1T2Tn(1)解 设{an}的公比为q， 由S4－S3＝a4，S4＝2a4－1得， 2a4－2a3＝a4，
所以＝2，所以q＝2.又因为S3＝2a3－1，
a4a3
4