发布时间 : 星期六 文章中南大学2014年硕士研究生入学考试试题（高等代数）更新完毕开始阅读6b3e1539998fcc22bcd10dea
中南大学
2014年硕士研究生入学考试试题
（883高等代数）
一、（14分）设n(n?2)阶行列式D?|aij|的每个元素都是实数，且至 少有一个不为零，当D的每个元素都等于它自己的代数余子式 时，求D的值。
二、（14分）设C[x]n是复数域C上次数小于n(n?2)的所有多项式再 添上零多项式所成的线性空间，?1,?2,?,?n为全体次单位根。令 f1(x)?(x??1)?(x??i?1)(x??i?1)?(x??n),i?1,2,?,n. 1.证明：f1(x),f2(x),?,fn(x)是C[x]n的一组基；
n?11,x,?,x 2.求由基到基f1(x),f2(x),?,fn(x)的过渡矩阵. 42f(x)?x?10x?1. 三、（16分）设
1.求f(x)在实数域上的标准分解式； 2.证明：f(x)在有理数域上不可约；
3.如果g(x)是以2?3为根的有理系数多项式，证明f(x)|g(x). 四、（16分）证明：方程组
?x1?2a11x1?2a12x2???2a1nxn?x?2ax?2ax???2ax?22112222nn? ????????????????xn?2an1x1?2an2x2???2annxn
只有零解，其中系数中的所有aij全为整数。
五、（16分）设数域P上的向量组?1,?2,?,?r线性无关，且可由数域
P上向量组?1,?2,?,?s线性表出。证明：在?1,?2,?,?s中必存在r个向量，将它们用?1,?2,?,?r替换后所得的向量组与?1,?2,?,?s等价。
A*为A的伴随矩阵.若|A|??12，六、（16分）设A为3阶实对称矩阵，
A的特征值的和为1，且(1,0,?2)T为(A*?4E)x?0的一个解，其中 E为单位矩阵. 1.求A；
2.求一正交变换X=QY，使二次型XTAX化为标准型.
七、（16分）设A,B都是数域P上的n阶方阵，其伴随矩阵分别为 A*,B*，再记AB的伴随矩阵为(AB)*.证明(AB)*?B*A*. 八、（20分）设?是复数域上n维线性空间V的一个非零且不可逆 线性变换，证明：存在?的不变子空间V1和V2，使得V?V1?V2， 且?|V为可逆变换，?|V为幂零变换。
12九、（22分）设?1,?2,?,?m与?1,?2,?,?m是n维欧式空间V中的两组 向量，(?,?)是V的内积。证明：存在正交变换T，使 T?i??i,i?1,2,?,m成立的充分必要条件是 (?i,?j)?(?i,?j),i,j?1,2,?,m.