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基于多元表征理论的教学研究 ——以“基本不等式”为例
摘要：基于多于表征理论的教学研究是一种新的教学理念和策略，对数学知识的多元表征能让学生更好地理解和掌握数学知识．基本不等式是高中数学中较为重要的内容，可以从语言、符号、操作、情境、图形等多个视角进行表征．在数学教学中，教师应合理选择表征形式，让学生构建自己的表征方式，促进不同表征形式之间的转换，优化对数学知识的表征．
关键词：多元表征；基本不等式；数学教学；思考 1 问题的提出
在认知心理学领域，表征是指人们在自己的短时记忆和长时记忆中对信息的加工，即把一个“表征”世界和另一个“被表征”的世界中的某种特性或元素建立起的某种对应关系，既可指人脑内部的心智活动的表现，又可指思维活动的外在表现；既可指表达数学关系的过程，又可指对数学关系的表示形式；既可指进行数学交流的工具，又可指进行数学交流的内容[1]．因此表征既是对客观事物的反映，又是心理活动进一步加工的过程，通常包括以下两种形式：内在表征和外在表征．
在数学教育领域，表征是指可反复替代某一数学学习对象的任何符号或符号集[2]．相对于知识的单一表征，多元表征理论强调数学对象的心理表征的多层次性和多角度性，能够具体形象地凸显一个数学学习对象的多元属性，而这种不同属性的多元表征可以相互补充，相互渗透，从而加深学生对于数学对象的理解．学生通过在不同属性的表征之间进行转换和转译，有助于学生对知识进行完整建构．因此教学中教师应尽量帮助学生对数学对象进行恰当合理的多元表征，形成灵活的多元表征系统，从而减少学生对数学对象学习的认知负荷．
基本不等式作为高中数学教材中的一个重要命题，不少研究者对该部分内容的教学进行了探讨，但大多是基于经验的教学设计、命题的几何背景以及命题的变式应用等方面的探讨，鲜见有运用多元表征理论进行系统的研究．本文试图基于数学课程标准的教学理念，从多元表征理论的视角出发，对该部分内容的教学设计进行研究．
2 基本不等式的知识背景
a?b基本不等式ab?（a?0，b?0）是高中数学中最重要的一个不等式，
2也是历年高考的一个热点内容．在现行教材编排体系中，该部分内容首先出现在《数学5》（必修）中的第三章第四节内容，其次在《选修4-5》中的第一讲内容再次出现．必修5教材对不等式的研究是从背景引入、抽象提炼、证明方法、几何意义、变式引申、拓展应用等六个方面展开教学的．
基本不等式结构简单，均匀对称，通过两个正实数之间的运算分别得出它们的几何平均数和算术平均数，进而找到它们之间的内在规律[3]．因此在基本不等式的教学过程中，应着重让学生应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同
a?b的角度探索基本不等式ab?（a?0，b?0）的证明过程．值得注意的是，
2a?b教学时应引导学生领会基本不等式ab?（a?0，b?0）成立时的三个限
2
1
制条件（简称一正、二定、三相等），以及在求解与实际问题有关的最大、最小值中的作用．其中用基本不等式求最大值、最小值是难点，不少学生在学习过程中往往会出现以下错误：（1）在使用基本不等式求最值时，容易忽视其存在的前提“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可；（2）在多次使用均值不等式时，要求同时满足任何一次的字母的取值存在且一致，而学生在求解过程中等号成立条件中的变量的取值范围发生了变化，依然强行取得最值往往导致错误．分析其错误原因，主要在于学生在学习过程中没有真正理解基本不等式的来龙去脉．因此，基于多元表征理论的视角来设计基本不等式的教学时，应该注重从它的产生背景入手帮助学生体会公式存在的前提，创设多种表征促使学生掌握基本不等式的结构特征等方面着手，促进学生自我探究各种表征间的内在联系，从而领会基本不等式的实质，发展学生的思维能力． 3 基本不等式的多元表征
数学的多元表征可以从不同角度对数学对象进行阐述，不仅丰富了知识的内涵和外延，而且使每种表征形式之间相互补充，进而促进学生对数学对象本质的感悟．下面我们将通过语言表征、符号表征、操作表征、情境表征、图形表征和
a?b代数表征等视角对基本不等式ab?（a?0，b?0）进行探究．
2（1）语言表征
两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．语言是人与人之间进行有效交流的工具，对于学生来说，规范地使用数学语言来表征数学知识，就能够很好地与他人进行数学交流．数学语言表征可以使学生的数学思维具有可见性，促使学生反思自己的知识以及解决问题的方法，从而有助于学生思维的进一步发[4]
展．因此通过学习使用准确的数学语言可以促进学生的数学表达交流能力，提高他们的数学化语言素养．
由于语言表征向学生传递的仅仅是简单的文字信息，该信息组块很可能只是进入了学生的短时记忆区，因此学生大多只是从直观上来感悟这两个代数表达式之间的关系，还需要其他的数学表征方式进行补充．
（2）符号表征
a?bab?（a?0，b?0）．符号表征的一个突出特点就是很好地体现了
2数学的简洁之美，可以把大量的文字信息浓缩为几个有限的符号．对于初学者来
a?b说，“ab?（a?0，b?0）”呈现的可能只是两个代数字母及其之间的
2相关运算，但是数学教学又不能仅仅停留在符号表征的浅层次理解上，还需要对它的抽象性进一步探究．在平时的教学过程中，对于比较复杂数学概念的学习，要培养学生的符号表征意识，提高他们的数学抽象能力．
（3）操作表征
随机取一些满足条件（正实数）的实数对，再利用信息技术分别计算出aba?b的值，然后比较他们之间的大小关系．经过多次操作，学生自然就会发2现其中的规律．这样通过操作表征学生就获得了“第一手资料”，从而加深对基本不等式的直观认知．
（4）情境表征 和
2
甲、乙两人同时从A地前往B地，甲前一半路程跑，后一半路程走；乙前一半时间跑，后一半时间走．已知甲、乙两人跑的速度相同且为每秒am，走的速度也相同且为每秒bm．问甲、乙两人到达终点的时间分别为多少？谁先到达终点？
通过创设适当的生活情境，可以让学生体会知识的发生过程以及知识的应用价值，既激发了学生的学习兴趣，又能为基本不等式的图形表征做好铺垫．
（5）图形表征
用几何图形来表征基本不等式既体现了数形结合的数学思想，也是基本不等式教学的重点．
①赵爽弦图模型
我国古代数学家赵爽利用弦图，巧妙地证明了勾股定理，第24 届国际数学家大会为了纪念他，特意将弦图作为会标（如图1）．HDC
EIJLKGB图2 图3 CBAOD
图1 AF根据赵爽弦图模型，可以尝试将此问题作如下变式后较好地表征基本不等
式． 如图2，在正方形ABCD中，AF?BG?CH?DE，EL?FI?GJ?HK?a， 过E、F、G、H四点分别做边AD、AB、BC、CD的垂线，交点分别为I、J、K、L，
EI?FJ?GK?HL?b．则S?EIF?S?FJG?S?GKH?S?HLE?S正方形EFGH，
1a?bab?(a?b)2，所以ab?（当且仅当a?b时取等号）． 22②构造直角三角形模型
直角三角形斜边上的高不大于斜边上的中线（同圆中半弦长不大于半径长）．
即4?DA?a，CD?AB，如图3，AB为?O的直径，C为?O上一点，D为AB上一点，
a?ba?b，CD?ab，又CD?OC，所以ab?（当且仅当22点D与圆心O重合时取等号）．
③构造解析几何模型
DB?b．则OC?由于直线ax?by?0过原点（a?0，b?0），所以点(b,a)
3
到直线ax?by?0的距离一定小于或等于该点到原点的距离，即
ab?aba?b?a?b，所以ab?a?b（当且仅当a?b时，取等号）． 2通过构造适当的几何模型，再比较这些几何图形中可度量对象（长度、面积等）之间的大小关系，从而得出基本不等式的两个代数式之间的大小关系．
（6）代数表征
代数表征是指从代数的角度用数、式、方程和函数等代数工具对数学对象进行表征．代数表征抽象程度高，要求学生具备较好的相关知识基础，它能有效地促进学生的抽象逻辑思维能力的提高．
①构造重要不等式的模型
a?b要证ab?，只需证明a?b?2ab．即证a?b?2ab?0，也就是要证
2明(a?b)2?0成立．显然(a?b)2?0是成立的（当且仅当a?b时，取等号）．
②构造函数f(x)?x?显然，f?(x)?1?1（x?0）的模型 x1，所以当0?x?1时，f?(x)?0，从而f(x)在(0,1)上单x2调递减；同理可知f(x)在[1,??)上单调递增．所以f(x)min?f(1)?2．即x?0时，
f(x)?x?1?2． xa?bbbaa?b)???2，即从而ab?（当且仅当a?b时，?2，
2aabab所以f(取等号）．
③构造柯西不等式模型
柯西不等式在数学的各个分支里具有极其广泛的应用价值，且在不同的数学领域具有不同的表现形式．其一般形式如下：
?ai,bi?R，i?1,2,???,n，有(?aibi)??a??b2i．当且仅当存在不全为零
22ii?1i?1i1?nnn的常数k1，k2使得k1ai?k2bi?0，i?1,2,???,n时，等式成立．
可以做如下变形：(ab?a?b?2aba?bab211??)?(a?b)(?)，即，所以
422244a?b，（当且仅当a?b时，取等号）． 2基本不等式的代数表征还可以利用构造一元二次方程模型，复数模型，矩阵模型等对其进行表征．在对基本不等式教学设计时，教师应着重选取学生所熟悉的模型对其进行代数表征，这将会促进学生对代数概括性策略的使用．
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4 若干思考
数学教学中常常出现“一听就懂，一做就错”的现象，出现这种现象的原因是多方面的．学生若能做出基于数学对象的恰当表征，有助于对数学知识的理解，进而促进数学问题的解决．因此教师在教学过程中，应着重思考如何利用多元表征来设计教学内容，引导学生构建他们自己的表征，并帮助他们建立各种表征之间的联系和转换．
4.1合理选择多元表征形式
同一个数学对象可以有多种表征形式，而且每一种表征形式都有着不同的功能：语言表征通俗易懂，便于理解和思维操作；符号表征可以减轻记忆负担，使问题变得清晰明了；图形表征可以清楚地呈现信息间的关系或规律，从而有利于发现数学问题的结果和方向；代数表征有利于把感性认识转化成抽象概括的理性认识．但是每一节课的容量和学生的记忆容量都是有限的，不可能将某一数学对象的所有表征形式都一一呈现给学生．因此如何选取合适的表征形式，以及所选取表征形式的呈现顺序等都需要教师精心设计．
如前所述，基本不等式的图形表征有多种形式，但是又不可能把这几种表征形式都详细讲解．对于基础班级的学生来说可选择赵爽弦图模型和直角三角形模型的表征形式，既可以激发学生的学习兴趣又可以让学生理解本节知识内容；对于认知程度较高的班级可以在原有图形表征的基础上增加解析几何模型的表征形式，这样既开阔了学生的视野，又复习了解析结合的有关知识．对于教师来说，无论选择哪种表征形式，都应该以学生的可接受性为原则． 4.2构建学生自己的表征形式
同一个数学对象在不同的学习个体中往往具有不同的心理表征形式，这是因为学习个体对数学对象的建构要依赖于他们已有的知识经验、认知风格、当前的问题情境等因素．因此在数学教学中，教师应该鼓励学生与他人分享自己的表征信息，通过这一分享的过程，他们可以充分借鉴别人思考问题的视角，以此来修正和完善自己的表征形式[5]．教师也应该注意照顾学生的认知差异，尽量让学生用自己偏好的表征形式作为理解数学和运用数学的工具，给学生各种机会来建立他们自己关于数学对象的表征形式．同时教师也应该及时指导和启发，进而规范学生对数学对象的表征．
4.3促进不同表征形式之间的转换
不同表征形式间的相互转换对于数学的学习有着重要意义．由于学生在遇到数学问题时，往往会选择自己所熟悉的表征形式去分析问题．一旦学生所熟悉的表征形式不适应新的数学问题，这时就需要向其它的表征形式转换．事实上，对于数学知识的各种表征形式，都是有着密切联系的：语言表征和符号表征传递给学生的信息量不大，通过思维的简单加工便可进入记忆系统，从而为理解数学知识做好了铺垫；而操作表征和情境表征包含的信息相对多了一些，需要学生在实际操作或是认真分析的基础上才可以理解，进一步加深对数学知识的掌握；图形表征和代数表征则是学生理解和掌握数学知识的关键表征，也是学生能否把此信息加工后进入长时记忆的关键．当学生能够在同一数学对象的不同表征之间进行转换时，他们应用数学知识的能力就得到了进一步提升． 4.4探索并优化多元表征形式
表征是实施数学教学的手段，多种方式比单一表征更能看出重要的数学知识之间的关系．因此在数学教学中，教师和学生应该经常创设具体的表征，展示和探索各种表征．当然教师也应该提醒学生针对不同的教学内容，识别不同表征之
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