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北京市东城区2011届上学期高三期末统一检测（数学理）
数学（理）试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．若集合P?{x|x?4},Q?{x|x2?4}，则
A．Q?P
?
D．Q?CUP
?（ ）
B．P?Q
?C．P?CUQ
?2．在复平面内，复数i(i?1)对应的点在
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
（ ）
?x?y?1?0,?那么2x-y的最大值为 3．已知实数x,y满足?y?1?0,?x?y?1?0,?
A．—3
B．—2
C．1
（ ）
D．2
4．已知?,?为不重合的两个平面，直线m??,那么“m??”是“???”的（ ）
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．若a?log12,b?log13,c?()32120.3，则
B．a?c?b D．b?a?c
（ ）
A．a?b?c C．b?c?a
226．直线ax?by?a?b?0与圆x?y?2的位置关系为
A．相交
B．相切
C．相离
D．相交或相切
（ ）
????1????????????7．已知△ABD是等边三角形，且AB?AD?AC,|CD|?3，那么四边形ABCD的面积为
2
A．
（ ）
3 2B．33 2C．33 D．93 28．已知函数f(x)的定义域为R，若存在常数m?0,对任意x?R,有|f(x)|?m|x|，则称f(x)为F函
数，给出下列函数：①f(x)?x2；②f(x)?sinx?cosx；③f(x)?x；④f(x)是定义
x2?x?1在R上的奇函数，且满足对一切实数x1,x2均有|f(x1)?f(x2)|?2|x1?x2|.其中是F函数的序号为
A．②④
B．①③
（ ） C．③④
D．①②
第Ⅱ卷（共10分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
9．已知sin(???)??,且?是第二象限角，那么sin2?= 。 10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的
体积为 。 11．在数列{an}中,若a1?2，且对任意的正整数p，
q都有ap?q?apaq,则a8的值为 。
13?log3x,x?0,?12．已知函数f(x)??1x那么不等式f(x)?1
(),x?0,??3的解集为 。
2213．已知双曲线kx?y?1的一条渐近线与直线2x?y?1?0垂直，那么双曲线的离心 率为 ；
渐近线方程为 。
214．已知函数f(x)?aln(x?1)?x，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p?q，不等式
f(p?1)?f(q?1)?1恒成立，则实数a的取值范围是 。
p?q三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分） 函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|? （I）求f(x)的最小正周期及解析式；
（II）设g(x)?f(x)?cos2x,求函数g(x)在区间[0,?)的部分图象如图所示。
2?2]上的最大值和最小值。
16．（本小题共13分）
已知数列{an}的前n项和Sn?n2?n,数列{bn}满足bn?1?2bn?1(n?N*),且b1?5. （I）求{an},{bn}的通项公式；
（II）设数列{cn}的前n项和为Tn,且cn?
17．（本小题共14分）
如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD?CD,AB//CD，AB=AD=2，CD=4，
M为CE的中点。
（I）求证：BM//平面ADEF；
（II）求证：平面BDE?平面BEC；
（III）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值。 18．（本小题共13分）
已知函数f(x)?xlnx.
11,证明:Tn?.
an?log2(bn?1)2 （I）求函数f(x)在[1，3]上的最小值；
（II）若存在x?[,e]（e为自然对数的底数，且e?2.718）使不等式
1e2f(x)??x2?ax?3成立，求实数a的取值范围。
19．（本小题共13分）
x2y23)在该 设A、B分别为椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点(1,ab2椭圆上。
（I）求椭圆的方程；
（II）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP与椭圆相交于A的点
M，证明：?MBP为锐角三角形。
20．（本小题共14分）
已知集合A?{a1,a2,?,an}中的元素都是正整数，且a1?a2???an，对任意的x,y?A，且
x?y,有|x?y|? （I）求证：
xy. 2511n?1??; a1an25 （II）求证：n?9;
（III）对于n=9，试给出一个满足条件的集合A。