发布时间 : 星期日 文章《数值分析简明教程》第二版王能超编著课后习题答案解析高等教育出版社更新完毕开始阅读6bb52693e97101f69e3143323968011ca200f7d4
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0.1算法
1、 （p.11，题1）用二分法求方程x?x?1?0在[1,2]内的近似根，要求误差不
3超过10-3.
【解】 由二分法的误差估计式|x*?xk|?2k?1?1000.两端取自然对数得k?b?a1????10?3，得到k?1k?1223ln10?1?8.96，因此取k?9，即至少需ln2bk xk f(xk)符号 二分9次.求解过程见下表。 k ak 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 1.5 + x2、（p.11，题2） 证明方程f(x)?e?10x?2在区间[0,1]内有唯一个实根；使用
1二分法求这一实根，要求误差不超过?10?2。
2【解】 由于f(x)?ex?10x?2，则f(x)在区间[0,1]上连续，且
f(0)?e0?10?0?2??1?0，f(1)?e1?10?1?2?e?8?0，即f(0)?f(1)?0，由连续函数的介值定理知，f(x)在区间[0,1]上至少有一个零点.
又f'(x)?ex?10?0，即f(x)在区间[0,1]上是单调的，故f(x)在区间[0,1]内有唯一实根.
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由二分法的误差估计式|x*?xk|?两端取自然对数得k?b?a11得到2k?100.?????10?2，k?1k?12222ln10?2?3.3219?6.6438，因此取k?7，即至少需二分ln27次.求解过程见下表。 k ak bk xk f(xk)符号 0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 0.5 0.2误差
1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值x1?2.7，x2?2.71，x2=2.71，x3?2.718各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：
1?10?1，所以x1?2.7有两位有效数字； 21?1因为|e?x2|?0.00828??0.05??10，所以x2?2.71亦有两位有效数字；
21?3因为|e?x3|?0.00028??0.0005??10，所以x3?2.718有四位有效数字；
2因为|e?x1|?0.01828??0.05??r1?|e?x1|0.05??1.85%； x12.7|e?x2|0.05??1.85%； x22.71?r2? 学习指导参考资料
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?r3?|e?x3|0.0005??0.0184%。 x32.718评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；
（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.
2．（p.12，题9）设x1?2.72，x2?2.71828，x3?0.0718均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。
【解】 ?1?0.005，?r1??1x1?0.005?1.84?10?3； 2.72?0.000005?1.84?10?6；
2.71828?2?0.000005，?r2??3?0.00005，?r3??2x2??3x30.00005?6.96?10?4；
0.0718评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.
?43．（p.12，题10）已知x1?1.42，x2??0.0184，x3?184?10的绝对误差限均为
0.5?10?2，问它们各有几位有效数字？
【解】 由绝对误差限均为0.5?10?2知有效数字应从小数点后两位算起，故x1?1.42，有
?4三位；x2??0.0184有一位；而x3?184?10?0.0184，也是有一位。
1.1泰勒插值和拉格朗日插值
1、（p.54，习题1）求作f(x)?sinx在节点x0?0的5次泰勒插值多项式p5(x)，并计算
p5(0.3367)和估计插值误差，最后将p5(0.5)有效数值与精确解进行比较。
【解】由f(x)?sinx，求得f(1)(x)?cosx；f(2)(x)??sinx；f(3)(x)??cosx；
f(4)(x)?sinx；f
(5)(x)?cosx；f(6)(x)??sinx，所以
(1)f(2)(x0)f(5)(x0)2?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)5 p5(x)
2!5!f(2)(0)2f(5)(0)5(1)?f(0)?f(0)x?x???x
2!5!11?x?x3?x5
3!5! 学习指导参考资料
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|f(6)(?)||sin(?)|1(x?x0)6?(x?x0)6?x6，若x?0.5，则 插值误差：R5(x)?6!6!6!0.336730.33675p5(0.3367)?0.3367???0.3303742887，而
3!5!0.33676R5(0.3367)??2.02?10?6?0.5?10?5，精度到小数点后5位，
6!故取p5(0.3367)?0.33037，与精确值f(0.3367)?sin(0.3367)?0.330374191?相比
较，在插值误差的精度内完全吻合！
2、（p.55，题12）给定节点x0??1,x1?1,x2?3,x3?4，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：
（1）f(x)?4x?3x?2； （2）f(x)?x?2x
【解】依题意，n?3，拉格朗日余项公式为 R3(x)?（1）f(4)433f(4)(?)3?(x?xi) 4!i?0(x)?0 → R3(x)?0；
(4)（2）因为f(x)?4!，所以
f(4)(?)R3(x)?(x?1)(x?1)(x?3)(x?4)?(x?1)(x?1)(x?3)(x?4)
4!3、（p.55，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算sin(0.3367)的近似值并估计误差。
i 0 0.32 0.314567 1 0.34 0.333487 f(4)2 0.36 0.352274 xi sin(xi)
【解】依题意，n?3，拉格朗日余项公式为 R3(x)?（1） 线性插值
因为x?0.3367在节点x0和x1之间，先估计误差
(?)3(x?xi) ?4!i?0 学习指导参考资料