发布时间 : 星期一 文章2020高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11-6几何概型学案理更新完毕开始阅读6bf1ac25944bcf84b9d528ea81c758f5f61f29a8
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【2019最新】精选高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量
及其分布11-6几何概型学案理
考纲展示?
1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
2．了解几何概型的意义．
考点1 与长度(角度)有关的几何概型
1.几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则
称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果________； (2)等可能性：每个试验结果的发生具有________．
答案：(1)有无限多个 (2)等可能性
3．几何概型的概率计算公式
P(A)＝. [提醒] 求解几何概型问题注意数形结合思想的应用．
[教材习题改编]在区间[－3,5]上随机取一个数x，则x∈[1,3]的概率为
__________． 答案：4
解析：记“x∈[1,3]”为事件A，则由几何概型的概率计算公式可得P(A)＝＝.
几何概型的特点：等可能性；无限性．
给出下列概率模型：
①在区间[－5,5]上任取一个数，求取到1的概率；
②在区间[－5,5]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
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③在区间[－5,5]上任取一个整数，求取到大于1的数的概率；
④向一个边长为5 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P与正方形ABCD的中心的
距离不超过1 cm的概率．
其中，是几何概型的有__________．(填序号)
答案：①②④
解析：①在区间[－5,5]内有无限多个数，取到1这个数的概率为0，故是几何概
型；
②在区间[－5,5]和[－1,1]内有无限多个数(无限性)，且在这两个区间内每个
数被取到的可能性都相同(等可能性)，故是几何概型；
③在区间[－5,5]内的整数只有11个，不满足无限性，故不是几何概型；④在边长为5 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点(无限性)，且点
P落在这两个区域内的任何位置的可能性都相同(等可能性)，故是几何概型．[典题1] (1)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log ≤1”发生
的概率为( ) A. B. C. D.4
[答案] A
[解析] 不等式－1≤logx＋≤1可化为log2≤log≤log ，即≤x＋≤2，解得
0≤x≤，
故由几何概型的概率公式，得P＝＝.
(2)[2017·河北衡水一模]在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形， 邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20 cm2的概率为( )
A. B. C. D.5
[答案] C
[解析] 设|AC|＝x，则|BC|＝12－x，
所以x(12－x)>20，解得2 故所求概率P＝＝. 1 4 2019年 (3)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线 OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________． [答案] 16 [解析] 如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的， 所以OA落在∠yOT内的概率为＝. [点石成金] 1.与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公 式求解． 2．与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来 计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段． 考点2 与体积有关的几何概型 [典题2] [2017·山东济南一模]如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在 此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________． [答案] 1 6 [解析] 设事件M＝“动点在三棱锥A－A1BD内”， P(M)＝＝V长方体ABCD－A1B1C1D1 ＝＝＝. [点石成金] 与体积有关的几何概型求法的关键点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件 的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求. 1.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体 ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________． 答案：1－12 π V三棱锥A1－ABD 解析：正方体的体积为2×2×2＝8， 2019年 以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为 ×πr3＝×π×13＝π，2 则点P到点O的距离大于1的概率为1－＝1－. 2．[2017·黑龙江五校联考]在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P， 则三棱锥S－APC的体积大于的概率是________． 答案：3 解析：由题意可知，>， 三棱锥S－ABC的高与三棱锥S－APC的高相同． 作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N， 则PM，BN分别为△APC与△ABC的高， 所以＝＝>， 又＝，所以>， 故所求的概率为(即为长度之比)． 考点3 与面积有关的几何概型 21 (1)[教材习题改编] 如图所示，圆中阴影部分的圆心角为45°，某人向圆内投镖，假设他每次都投入 圆内，那么他投中阴影部分的概率为________． 答案：8 解析：所求概率为＝. (2)[教材习题改编]如图所示，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω，向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积 1