发布时间 : 星期三 文章初中数学精选二次函数难题更新完毕开始阅读6bf964c0e2bd960591c67707
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参考答案与试题解析
21．（2004?哈尔滨）已知：抛物线y=﹣x﹣（m+3）x+m﹣12与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜0，x2＞0，抛物线与y轴交于点C，OB=2OA． （1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上，点A的左侧，求一点E，使△ECO与△CAO相似，并说明直线EC经过（1）中抛物线的顶点D； （3）过（2）中的点E的直线y=x+b与（1）中的抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为M′、N′，点P为线段MN上一点，点P的横坐标为t，过点P作平行于y轴的直线交（1）中所求抛物线于点Q．是否存在t值，使S梯形MM'N'N：S△QMN=35：12？若存在，求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由．
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考点： 二次函数综合题。 专题： 压轴题。 分析： （1）可设出A、B的坐标，然后用韦达定理表示出两点横坐标的和与积，然后根据OB=2OA，即B点的横坐标为A点横坐标的2倍联立三式可得出m的值．即可求出抛物线的解析式； （2）根据△ECO与△CAO相似，可通过相似三角形的对应边成比例线段求出OE的长，即可得出E点的坐标，进而可求出过E点直线的解析式，然后将抛物线顶点代入直线的解析式中进行判断即可； （3）过M、N分别作直线PQ的垂线后可发现，三角形QMN可以以QP为底，以M、N两点的横坐标差为高来求得其面积，而梯形的面积可以以M、N两点的纵坐标的和与两点横坐标的差为高来求，因此三角形QMN和梯形的面积比实际是QM和M、N两点的纵坐标的比．可联立直线MN与抛物线的解析式求出M、N两点纵坐标的和，然后将t代入抛物线和直线MN的解析式中求出QP的表达式，根据题中给出的两个图形的面积比即可求得t的值． 解答： 解：（1）∵x1＜0，x2＞0． ∴OA=x1，OB=x2 22∵x1，x2是方程﹣x﹣（m+3）x+m﹣12=0的两个实数根 2∴x1+x2=﹣2（m+3）①，x1?x2=﹣2（m﹣12）②x2=﹣2x1③ 2联立①，②，③整理得：m+8m+16=0， 解得m=﹣4． 2∴抛物线的解析式为y=﹣x+x+4； （2）设点E（x，0），则OE=﹣x． ∵△ECO与△CAO相似， ∴，，x=﹣8 ?2010-2012 菁优网
∴点E（﹣8，0） 设过E、C两点的直线解析式为y=k′x+b′， 则有：， 解得 ∴直线EC的解析式为y=x+4． ∵抛物线的顶点D（1，），当x=1时，y= ∴点D在直线EC上； （3）存在t值，使S梯形MM'N'N：S△QMN=35：12． ∵E（﹣8，0）， ∴×（﹣8）+b=0， ∴b=2，y=x+2． ∴x=4（y﹣2）． ∴y=﹣[4（y﹣2）+4（y﹣2）+4]， 整理得8y﹣35y+6=0， 设M（xm，ym）． ∴MM′=ym，NN′=yn， ∴ym，yn是方程8y﹣35y+6=0的两个实数根，ym+yn=∴S梯形=（ym+yn）（xn﹣xm） ∵点P在直线y=x+2上，点Q在（1）中抛物线上， ∴点P（t，t+2）、点Q（t，﹣t+t+4） ∴PQ=﹣t+t+4﹣t﹣2=﹣t﹣t+2， 分别过M、N作直线PQ的垂线，垂足为G、H，则GM=t﹣xm，NH=xn﹣t ∴S△QMN=S△QMP+S△QNP=PQ（xn﹣xm） ∵S梯形MM'N'N：S△QMN=35：12， 222222 ∴2=， 整理得：2t﹣3t﹣2=0， 解得t=﹣，t=2． 因此当t=﹣或t=2时，S梯形MM'N'N：S△QMN=35：12． ?2010-2012 菁优网
点评： 本题为二次函数综合题，考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象交点等知识点，难度较大． 22．（2008?莆田）如图，抛物线c1：y=x﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P为线段BC上一点，过点P作直线l⊥x轴于点F，交抛物线c1点E． （1）求A、B、C三点的坐标；
（2）当点P在线段BC上运动时，求线段PE长的最大值； （3）当PE为最大值时，把抛物线c1向右平移得到抛物线c2，抛物线c2与线段BE交于点M，若直线CM把△BCE的面积分为1：2两部分，则抛物线c1应向右平移几个单位长度可得到抛物线c2？
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考点： 二次函数综合题。 专题： 压轴题。 分析： （1）已知了抛物线的解析式即可求出A、B、C三点的坐标． （2）由于直线l与y轴平行，那么F、P、E三点的横坐标就应该相等，那么PE的长可看做是直线BC的函数值和抛物线的函数值的差．由此可得出关于PE的长和三点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可得出PE的最大值． （3）先用平移的单位设出c2的解析式．由于直线CM把△BCE的面积分为1：2两部分，根据等高三角形的面积比等于底边比，可得出BE：ME=2：1或ME：BE=2：1．因此本题要分两种情况进行讨论，可过M作x轴的垂线，先根据相似三角形求出M点的横坐标，然后根据直线BE的解析式，求出M点的坐标．由于抛物线c2经过M点，据此可求出抛物线需要平移的单位． 解答： 解：（1）已知抛物线过A、B、C三点，令y=0， 2则有：x﹣2x﹣3=0， 解得x=﹣1，x=3； 因此A点的坐标为（﹣1，0），B点的坐标为（3，0）； 令x=0，y=﹣3， 因此C点的坐标为（0，﹣3）．
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