初中数学精选二次函数难题 联系客服

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参考答案与试题解析

21.(2004?哈尔滨)已知:抛物线y=﹣x﹣(m+3)x+m﹣12与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且x1<0,x2>0,抛物线与y轴交于点C,OB=2OA. (1)求抛物线的解析式;

(2)在x轴上,点A的左侧,求一点E,使△ECO与△CAO相似,并说明直线EC经过(1)中抛物线的顶点D; (3)过(2)中的点E的直线y=x+b与(1)中的抛物线相交于M、N两点,分别过M、N作x轴的垂线,垂足为M′、N′,点P为线段MN上一点,点P的横坐标为t,过点P作平行于y轴的直线交(1)中所求抛物线于点Q.是否存在t值,使S梯形MM'N'N:S△QMN=35:12?若存在,求出满足条件的t值;若不存在,请说明理由.

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考点: 二次函数综合题。 专题: 压轴题。 分析: (1)可设出A、B的坐标,然后用韦达定理表示出两点横坐标的和与积,然后根据OB=2OA,即B点的横坐标为A点横坐标的2倍联立三式可得出m的值.即可求出抛物线的解析式; (2)根据△ECO与△CAO相似,可通过相似三角形的对应边成比例线段求出OE的长,即可得出E点的坐标,进而可求出过E点直线的解析式,然后将抛物线顶点代入直线的解析式中进行判断即可; (3)过M、N分别作直线PQ的垂线后可发现,三角形QMN可以以QP为底,以M、N两点的横坐标差为高来求得其面积,而梯形的面积可以以M、N两点的纵坐标的和与两点横坐标的差为高来求,因此三角形QMN和梯形的面积比实际是QM和M、N两点的纵坐标的比.可联立直线MN与抛物线的解析式求出M、N两点纵坐标的和,然后将t代入抛物线和直线MN的解析式中求出QP的表达式,根据题中给出的两个图形的面积比即可求得t的值. 解答: 解:(1)∵x1<0,x2>0. ∴OA=x1,OB=x2 22∵x1,x2是方程﹣x﹣(m+3)x+m﹣12=0的两个实数根 2∴x1+x2=﹣2(m+3)①,x1?x2=﹣2(m﹣12)②x2=﹣2x1③ 2联立①,②,③整理得:m+8m+16=0, 解得m=﹣4. 2∴抛物线的解析式为y=﹣x+x+4; (2)设点E(x,0),则OE=﹣x. ∵△ECO与△CAO相似, ∴,,x=﹣8 ?2010-2012 菁优网

∴点E(﹣8,0) 设过E、C两点的直线解析式为y=k′x+b′, 则有:, 解得 ∴直线EC的解析式为y=x+4. ∵抛物线的顶点D(1,),当x=1时,y= ∴点D在直线EC上; (3)存在t值,使S梯形MM'N'N:S△QMN=35:12. ∵E(﹣8,0), ∴×(﹣8)+b=0, ∴b=2,y=x+2. ∴x=4(y﹣2). ∴y=﹣[4(y﹣2)+4(y﹣2)+4], 整理得8y﹣35y+6=0, 设M(xm,ym). ∴MM′=ym,NN′=yn, ∴ym,yn是方程8y﹣35y+6=0的两个实数根,ym+yn=∴S梯形=(ym+yn)(xn﹣xm) ∵点P在直线y=x+2上,点Q在(1)中抛物线上, ∴点P(t,t+2)、点Q(t,﹣t+t+4) ∴PQ=﹣t+t+4﹣t﹣2=﹣t﹣t+2, 分别过M、N作直线PQ的垂线,垂足为G、H,则GM=t﹣xm,NH=xn﹣t ∴S△QMN=S△QMP+S△QNP=PQ(xn﹣xm) ∵S梯形MM'N'N:S△QMN=35:12, 222222 ∴2=, 整理得:2t﹣3t﹣2=0, 解得t=﹣,t=2. 因此当t=﹣或t=2时,S梯形MM'N'N:S△QMN=35:12. ?2010-2012 菁优网

点评: 本题为二次函数综合题,考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象交点等知识点,难度较大. 22.(2008?莆田)如图,抛物线c1:y=x﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.点P为线段BC上一点,过点P作直线l⊥x轴于点F,交抛物线c1点E. (1)求A、B、C三点的坐标;

(2)当点P在线段BC上运动时,求线段PE长的最大值; (3)当PE为最大值时,把抛物线c1向右平移得到抛物线c2,抛物线c2与线段BE交于点M,若直线CM把△BCE的面积分为1:2两部分,则抛物线c1应向右平移几个单位长度可得到抛物线c2?

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考点: 二次函数综合题。 专题: 压轴题。 分析: (1)已知了抛物线的解析式即可求出A、B、C三点的坐标. (2)由于直线l与y轴平行,那么F、P、E三点的横坐标就应该相等,那么PE的长可看做是直线BC的函数值和抛物线的函数值的差.由此可得出关于PE的长和三点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可得出PE的最大值. (3)先用平移的单位设出c2的解析式.由于直线CM把△BCE的面积分为1:2两部分,根据等高三角形的面积比等于底边比,可得出BE:ME=2:1或ME:BE=2:1.因此本题要分两种情况进行讨论,可过M作x轴的垂线,先根据相似三角形求出M点的横坐标,然后根据直线BE的解析式,求出M点的坐标.由于抛物线c2经过M点,据此可求出抛物线需要平移的单位. 解答: 解:(1)已知抛物线过A、B、C三点,令y=0, 2则有:x﹣2x﹣3=0, 解得x=﹣1,x=3; 因此A点的坐标为(﹣1,0),B点的坐标为(3,0); 令x=0,y=﹣3, 因此C点的坐标为(0,﹣3).

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