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实验二 连续系统频域分析（硬件实验）
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一、实验目的
1． 通过观察信号的分解与合成过程，理解利用傅利叶级数进行信号频谱分析的方法。 2． 了解波形分解与合成原理。
3． 掌握带通滤波器有关特性的设计和测试方法。
4． 了解电信号的取样方法与过程以及信号恢复的方法。 5． 观察连续时间信号经取样后的波形图，了解其波形特点。 6． 验证取样定理并恢复原信号。
二、实验内容与原理
内容：
1． 用示波器观察方波信号的分解，并与方波的傅利叶级数各项的频率与系数作比较。 2． 用示波器观察三角波信号的分解，并与三角波的傅利叶级数各项的频率与系数作比较。 3． 用示波器观察方波信号基波及各次谐波的合成。 4． 用示波器观察三角波信号基波及各次谐波的合成。 5． 用示波器观察不同的取样频率取样得到的取样信号。
6． 用示波器观察各取样信号经低通滤波器恢复后的信号并验证取样定理。 原理：
1、信号的分解与合成
任何电信号都是由各种不同频率、幅度和初始相位的正弦波叠加而成的。对周期信号由它的傅利叶级数展开式可知，各次谐波为基波频率的整数倍。而非周期信号包含了从零到无穷大的所有频率成份，每一频率成份的幅度均趋向无穷小，但其相对大小是不同的。
通过一个选频网络可以将电信号中所包含的某一频率成份提取出来。本实验采用性能较好的有源带通滤波器作为选频网络。对周期信号波形分解的方案框图如图2-1所示。
BPF-1KHz一次谐波BPF-2KHz二次谐波输入信号BPF-3KHz三次谐波BPF-4KHz四次谐波BPF-5KHz五次谐波
图2-1 信号的分解方案框图
实验中对周期方波、三角波、锯齿波信号进行信号的分解。方波信号的傅利叶级数展开式为
f(t)?4A11(sin?t?sin3?t?sin5?t?…)；三角波信号的傅利叶级数展开式为?3511(sin?t?sin3?t?sin5?t?…)；锯齿波信号的傅利叶级数展开式为?2925AA112?f(t)??(sin?t?sin2?t?sin3?t?…)，其中??为信号的角频率。
2?23Tf(t)?将被测的方波信号加到分别调谐于其基波和各次谐波频率的一系列有源带通滤波器电路上，从
每一有源带通滤波器的输出端可以用示波器观察到相应频率的正弦波。实验中采用的被测信号是1KHz的方波、三角波和锯齿波，而用作选频网络的五种有源带通滤波器的输出频率分别为1KHz、2KHz、3KHz、4KHz和5KHz，因而能从各有源带通滤波器的两端观察到基波和各次谐波。其中，对方波信号而言，在理想情况下，偶次谐波应该无输出信号，始终为零电平，而奇次谐波则具有良好的幅度收敛性，理想情况下奇次谐波中一、三、五次谐波的幅度比应为1：1/3：1/5。但实际上因输入方波的占空比较难控制在50%，且方波可能有少量失真以及滤波器本身滤波特性的局限性都会使得偶次谐波分量不能达到理想零的情况。对三角波和锯齿波信号而言，各谐波的幅度关系由上述傅利叶级数展开式决定。
作为选频网络的有源带通滤波器电路原理图如图2-2所示。
通过加法器可以将信号的各次谐波进行合成恢复原信号，信号的合成方案框图和电路原理图分别如图2-3、2-4所示。
图2-2 有源带通
滤波器电路原理图
8A
一次谐波二次谐波三次谐波四次谐波五次谐波同 相加法器输入信号 图2-3 信号的合成方案框图
图2-4 信号的合成电路原理图
实验中，将信号源产生的f0＝1KHz的信号进行分解，得到信号的基波、二次谐波、三次谐波、四次谐波和五次谐波；在进行信号合成时，可将信号分解后的各次谐波送加法器合成信号，，此时需调节各正弦波信号的幅度和相位以满足傅利叶级数的比例关系，幅度、相位对波形合成的影响将在其它材料中介绍。
2、信号的取样与恢复
取样是模拟信号数字化的第一步，取样性能的优劣关系到通信设备整个系统的性能指标。利用取样脉冲序列s(t)从一个连续信号f(t)中抽取离散样值的过程称为取样，即
fs(t)?f(t)?s(t)
(2-1)
取样后得到的信号fs(t)称为脉冲调幅（PAM）信号或取样信号。取样定理指出：一个频带受限信号，如果它的最高频率为fh，则可以唯一的由取样频率等于或大于2fh的离散样值所决定。在满足取样定理条件下，取样信号保留了原信号的全部信息，利用一个具有适当截止频率的理想低通滤波器，可以从取样信号中可以无失真地恢复出原始信号。取样定理在通信系统、信息传输理论方面占有十分重要的地位，数字通信系统是以此定理作为理论基础。
取样信号依然是一个时域信号。设f(t)的频谱为F(j?)，s(t)的频谱为S(j?)，则根据频域卷积定理，fs(t)的频谱
Fs(j?)?f(t)1F(j?)*S(j?) 2?1F?j?? (2-2)
os(t)t1o?m???mS?j????s2π?oTsfs?t?t相乘卷积??so?s???TsFs?j??oTsto??s?m?s?
图2-5 周期矩形脉冲取样的时域与频域分析
工程上通常采用周期矩形脉冲信号作为取样脉冲序列，其信号取样的时域与频域变化过程如图2-5所示。设周期矩形脉冲的周期为Ts、脉冲宽度为?、幅度为E，则
?n???S(j?)?E??s?Sa?s?????n?s?
?2?n???? (2-3)
式中?s?2?Ts为取样角频率、Sa(?)为取样函数，即S(j?)为取样函数包络下的冲激序列。此时
??s1?n???Fs(j?)?F(j?)*S(j?)?E??Sa?s?F?j???n?s???2?2?n????2???E?Ts?n?s??Sa???F??j???n?s???2??n???? (2-4)
因此，取样信号的频谱Fs(j?)是将原信号频谱F(j?)在?轴上以?s为间隔的非等幅周期延拓，如图2-5所示（图中取样脉冲序列的幅度E?1）。若F(j?)的幅度归一化为1，则第n个延拓F??j???n?s???的幅度为
A(n)?利用式（2-5），式（2-4）可简化表示为
E??n?s?Sa?Ts?2?? ? (2-5)
Fs(j?)?n????A(n)F??j???n????
s? (2-6)
在无混叠的条件下，n?0时延拓（称为主延拓）的波形形状和在?轴上所处的位置与F(j?)完全相同，因为A(0)=E?Ts，故主延拓的幅度为F(j?)的E?Ts倍。若E=1，则为?Ts倍，如图2-5所示。
能否由取样信号fs(t)重构（恢复）原模拟信号f(t)，是判断原信号在取样之后是否保留了其所有信息的一个基本依据。
由图2-5可知，如果信号的取样满足取样定理，即?s大于等于2倍信号带宽?m（?s?2?m），则在对信号f(t)取样时，频谱F(j?)的周期延拓将不会发生混叠，Fs(j?)中每一个延拓的波形与F(j?)的波形形状完全相同，幅度取决于A(n)。在这种情况下，如果用一个截止频率?c满足?m??c??s??m的理想低通滤波器H(j?)对Fs(j?)进行滤波，则可以由Fs(j?)完整地恢复F(j?)。考虑到时域与频域的唯一对应性，也就表明可以由fs(t)重构原模拟信号f(t)。
信号取样与恢复实验电路的框图和电路原理图分别如图2-6、2-7所示，恢复滤波器的截止频率
约为1kHz。图2-8则给出了该电路在输入信号为1kHz正弦波、取样脉冲序列为8kHz方波（占空比约为20%）条件下的各测试点的典型信号波形，图中从上到下依次为输入信号、取样脉冲序列、取样信号、恢复信号。
输入信号取样电路取样信号恢复滤波器（1kHz低通滤波器）恢复信号取样脉冲序列图2-6 信号取样与恢复实验电路原理框图