发布时间 : 星期日 文章【优秀毕设】常微分方程初值问题的数值解法更新完毕开始阅读6ce4161c001ca300a6c30c22590102020640f21b
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1 绪论
自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画．常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法．物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究．因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域． 1.1 课题背景及意义
一阶常微分方程的求解是数学工作者的一项基本的且重要的工作．我国已故的科学老前辈冯康院士曾指出：“现在科学计算的主题是数学物理中的各种微分方程的数值求
[1]解”．由于国内外众多数学家的努力，使此学科基本上形成了一套完美的学科体系．由
于该问题比较复杂且涉及的面广，对于一些典型的微分方程，如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等，可以运用基本方法求出其解析解，并在理论上可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来．然而，在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，有时即使能求出形式的解，也往往因计算量太大而不实用，而且高次代数方程求根也并不容易，所以用求解析解的方法来计算微分方程的数值解往往是不适宜的．实际上，对于解微分方程初值问题，一般只要求得到解在若干个点上的近似解或者解的便于计算的近似表达式（只要满足规定的精度就行）． 1.2 课题的发展及应用
常微分方程理论研究已经有300多年的历史了，它是近代数学中的重要分支；同时，由于它与实际问题有着密切的联系，因此它又是近代数学中富有生命力的分支之一．
常微分方程的发展大致可以分为四个重要阶段： 1、以求通解为主要内容的经典阶段
常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的，其雏形的出现甚至比微积分的发明
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还早．牛顿和莱布尼茨在建立微分和积分运算的互逆性，实际上是解决了最简单的微分方程
dy?f(x)的求解问题． dx17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典理论阶段，以求通解为主要研究内容．在这一阶段，还出现了许多精彩的成果．1694年，莱布尼茨发现了方程解族的包络，1718年泰勒提出奇解的概念，克莱络和欧拉对奇解进行了全面研究，给出从微分方程本身求得奇解的方法，参加奇解研究的数学家还有拉格朗日、凯莱和达布等人．
2、以定解问题的适定性理论为研究内容的适定性理论阶段
19世纪20年代，柯西建立了初值问题的存在唯一性定理．1873年，德国数学家利普希茨提出著名的“利普希茨条件”，对柯西的存在唯一性定理作了改进．在适定性的研究中，与柯西、利普希茨同一时期的，还有皮亚诺和毕卡，他们先后给出常微分方程的逐次逼近法，皮亚诺在仅仅要求函数在一点的邻域内连续的条件下证明了柯西问题解的存在性．后来这方面的理论有了很大发展，这些基本理论包括：解的存在及唯一性，解的延拓，解的整体存在性，解对初值和参数的连续依赖性、可微性，奇解等．这些问题是微分方程的一般理论问题．
3、以解析理论为研究内容的解析理论阶段
19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段，这一阶段的主要成果是微分方程的解析理论，运用幂级数和广义幂级数解法，求出一些重要的二阶线性方程的级数解，并得到极其重要的一些函数．贝塞尔函数就是其中的一个函数．
在解析理论中另一个重要的内容是勒让德方程的级数解和勒让德多项式方面的成果，与此同时，也出现了厄尔米特多项式和切比雪夫多项式．
4、以定性与稳定性理论为研究内容的定性理论阶段 自从刘维尔证明了黎卡提方程
dy?p(x)y2?q(x)y?r(x)不存在初等积分表达式之dx后，研究方程的方法有了明显的变化，数学家们开始从方程本身（不求解）直接讨论解的性质．庞卡莱开创了微分方程定性理论研究，李雅普诺夫则开创了微分方程运动稳定性理论的研究．现在稳定性的研究已经发展到泛函微分方程和偏微分方程等更广泛的系统中去．目前，稳定性的概念已被推广和运用到自然科学和工程技术的许多领域之中，并形成了非常重要的理论．
现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置
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的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等．这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题．应该说，应用常微方程理论已经取得了很大的成就．
对于一些简单的微分方程是可以设法求出其解析解的．但在生产实际和其它数学分支碰到的常微分方程，仅有很少一部分能通过初等积分法给出其通解，大多数方程根本无法求出其解析解，这促使数学工作者从理论上去探讨它们的解析解，工程师们从渐进的角度去研究它们的渐近解，但无论是理论分析还是渐近分析均存在着一定的局限性．因此，研究其数值方法，以便快速求得数值解有其重大意义．
在计算机迅猛发展的今天，微分方程的数值求解越来越受到重视．一方面，借助计算机，一些超大规模问题和原来无法通过初等积分或渐近方法求解的问题能得以求解；另一方面，借助于数值方法，也可以简化一些问题的理论分析． 1.3 论文构成及研究内容
本文首先引入一阶常微分方程初值问题的定义，介绍了数值解法的基本思想，即将连续问题离散化，求连续函数在一系列离散点处的函数值，然后根据这一思想，阐述了求常微分方程初值问题的一些实用的经典方法，如Euler法、梯形法、Runge-Kutta法、阿当姆斯显式与隐式法、辛普森法、米尔尼法和汉明法，这些方法可以满足一般应用的需要．由于常微分方程的数值解法是按步进的方式计算的，所以为了消除误差的积累还要研究高精度或者自动控制误差的方法．在一般情况下，提高精度的方法是适当减小步长，所付出的代价是增加了计算量，为了两者兼顾，本论文特别介绍了自适应步长的Runge-Kutta法，这是很实用的方法，在计算机领域有着广泛的应用．MATLAB中求常微分方程初值问题的ode45( )函数就是使用了四五阶嵌入式Runge-Kutta-Fehlberg方法．利用不同步长的序列产生的近似值构造外推加速收敛法的近似值序列在数值计算领域有着广泛的应用．可以毫不夸张的说，现在科学计算领域的许多新成就在很大程度上源自外推方法的应用．论文最后讨论了高阶微分方程和一阶微分方程组，理论上高阶微分方程都可以化为等价的一阶微分方程组，而单个方程的解法可以应用到一阶微分方程组的情形．
论文正文是毕业设计（论文）的主体和核心部分，一般应包括绪论、论文主体及结论等部分。
绪论一般作为第一章，是毕业设计（论文）主体的开端。绪论应包括：毕业设计的
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背景及目的；国内外研究状况和相关领域中已有的研究成果；课题的研究方法；论文构成及研究内容等。绪论一般不少于2千字。
论文主体是毕业设计（论文）的主要部分，应该结构合理，层次清楚，重点突出，文字简练、通顺。论文主体的内容应包括以下各方面：
(1) 毕业设计（论文）总体方案设计与选择的论证。
(2) 毕业设计（论文）各部分（包括硬件与软件）的设计计算。 (3) 试验方案设计的可行性、有效性以及试验数据的处理及分析。
(4) 对本研究内容及成果应进行较全面、客观的理论阐述，应着重指出本研究内容中的创新、改进与实际应用之处。理论分析中，应将他人研究成果单独书写，并注明出处，不得将其与本人提出的理论分析混淆在一起。对于将其他领域的理论、结果引用到本研究领域者，应说明该理论的出处，并论述引用的可行性与有效性。
(5) 自然科学的论文应推理正确，结论清晰，无科学性错误。
(6) 管理和人文学科的论文应包括对研究问题的论述及系统分析，比较研究，模型或方案设计，案例论证或实证分析，模型运行的结果分析或建议、改进措施等。