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北京理工大学数学学院《常微分方程》小论文
捕鱼业效益最大化的微分
方程模型
2012/12/18
《常微分方程》课程小论文——捕鱼业效益最大化方程模型
捕鱼业效益最大化常微分方程模型
摘要
在将可持续发展作为基本国策的大背景下，像渔业这样的再生资源应该在持续稳产的前提下追求效益的最大化。
本文考察一个渔场，首先建立在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论渔场的效益最大化问题，最后提出相应的优化方案及建议。
关键字 :渔场鱼量捕捞强度平衡点稳定条件效益
一、 问题分析
如今人们大范围过度捕捞导致了渔业的日渐枯竭，近海资源已经被严重透支，到远洋争议海域捕鱼又充满了危险，近年不断有渔船被日韩海监船扣压，更有甚者，去年3月份与韩国海警爆发冲突，导致一人死亡，引发各种问题。然而怎样才能实现捕鱼业效益的最大化 呢？应该如何控制捕捞强度才能实现效益的最大化？本文就这些问题进行了以下分析：
① 建立渔场鱼量x，捕捞强度E关于t的微分方程； ② 由上述微分方程组求出平衡点并分析其稳定性； ③ 在稳定条件下求出渔场效益； ④ 对其效益进行分析提出优化方案.
二、 模型假设：
（1）
在无捕捞条件下，渔场中的余量x(t)的增长服从logistic规律（即阻滞增长模型）；
（2）
单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，比例系
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《常微分方程》课程小论文——捕鱼业效益最大化方程模型
数为E；
（3） （4）
捕捞强度E(t)的变化率与利润成正比；
鱼的销售单价为常数p，单位捕捞率的费用为常数c；
三、 模型建立与求解
1. 在无捕捞条件下x(t)关于时间的微分方程
(t)= ……（1） r为固有增长率，N是环境容许的最大鱼量，用f(x)表示单位时间的增长量.
2. 捕捞情况下渔场鱼量满足的方程
单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，比例系数为捕捞强度，于是单位时间的捕捞量为：
……（2） 根据以上假设并记 F(x)=f(x)-h(x)
得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程为：
……（3）
3. 捕捞强度E(t)关于时间的微分方程
……（4） k为比例常数，T为单位时间的收入，S为单位时间的支出. 其中
T=ph(x)=pEx, S=cE ……（5）
4. 求平衡点并分析其稳定性
我们并不需要解方程(3)和(4)以得到x(t)，E(t)的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即时间t足够长以后渔场鱼量x(t)的趋向，并由此确定此时的效益.接下来我们将求解方程(3)和(4)的平衡点并分析其稳定性.
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……（6）
将（5）式带入下面的代数方程组，
,
解出平衡点为，（0,0），（N，0），（ , ）. 稳定性分析：
当x=0,E=0时，即渔场鱼量为0且捕捞强度为0，此种情况不具有分析意义；
当x=N，E=0时，即渔场鱼量为环境最大容纳量，没有捕捞，同样，这种情况也不具有分析意义；
当x= ，E= 时，由于（6）为非线性方程组，所以我们将采用线性近似的方法讨论此时的稳定性。所以，在 （ , ）点将u(x,E)和v(x,E)作泰勒展开，只取一次项，得（6）的近似线性方程组
系数矩阵记为 A=
，
P=-tr[A]= ，Q=detA=
令P>0, Q>0,得p> 时，即售价大于成本时， 为稳定点，此时 E= ，x= ……（7） 此时的持续产量h（x,E）= . 5. 效益分析
设单位时间的利润为
R=T-S=pEx-cE ……（8）
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