发布时间 : 星期三 文章全国数学建模大赛-利用太阳影子定位定时更新完毕开始阅读6d3ceabc6e1aff00bed5b9f3f90f76c661374cc4
五、模型建立和解决
5.1模型一
5.1.1模型准备
（1）模型符号说明 α：太阳高度角（°） h：直杆长度（m） l：影子长度（m） δ：赤纬（°）
?：当地纬度（°）
t：当地时角（以当地时间12：00为0°，后每小时增加15°） N:积日（1月1日-当日相距天数） T：该时间距离12：00的小时数（h） （2）太阳光线的确定
为建立模型简单合理，取经过杆顶的一条太阳光线与地面形成夹角α且α在0°—— 90°之间,所以α=arctan（h/l）。
（3）模型近似
为了求解模型方便，将直杆所处地面近似为绝对水平面，无任何的凹凸起伏。而且直杆立与地面保持与地面的相对静止。 5.1.2 模型的建立
为帮助理解，我们做了太阳光线与地面、直杆影长所构成的示意图如图5.12-1所示
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我们的求解目的是求出影子的长度，已知杆长为h=3m，我们已经假设了影长为l，太阳高度角为α根据示意图如果要求影子长度由正切三角函数公式
tan??可知，我们首先要确定α角的值。
h l为了求解出太阳高度角的值，建立一下的数学模型
sin α=sin? sinδ+cos ? cosδ cos t
即求解出α的值成为了解决本题的关键。要求出α的值，但是有三个未知量分别是当地纬度?、赤纬角度δ
[2]
、当地时角t
[3]
。由题目的已知条件，我们可
以得到当地纬度的的值是“北纬39度54分26秒”， 即
?=39°54′26″
时角t可以通过题目给定的时间日期是可以计算的即
t=T*15°
所以要求解出sinα就必须建立一个模型求δ
这里的δ表示的是从天赤道沿着天体的时圈至天体的角度称为该天体的赤纬。
根据地球示赤纬意图如图5.1.2-2所示
赤纬 图5.1.2-2
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由于太阳赤纬角在周年运动中任何时刻的具体值都是严格已知的,即可建立以下模型用来求解sinδ的值
sinδ=0.39795*cos[0.98563*(N-173)]
其中N表示的是积日（1月1日-当日相距天数）。 5.1.3 模型的求解
（1）已知：
日期 2015年10月22日（用来求积日N）
北京时间 9:00-15:00 [用来求当地时间（求时角t ）]
地点 天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒） 杆高 h=3m （2）计算 由已知可求得
N=295
利用公式
sinδ=0.39795*cos[0.9856*(N-173)]
sin2δ+cos2δ=1
求得
sinδ=0.25772，cosδ=0.96622
又由
t=T*15°
求出不同时间的时角t，然后不同时间的时角的余弦cost，见图表5.1.3-1所示； 利用已知条件求出cos?和sin?的值，即cos?=0.766269，sin?=0.64252 利用公式
sin α=sin? sin δ+cos ?cosδ cos t
求出不同时间sinα的值，见图表5.1.3-1所示，再根据
sin2α+cos2α=1，sinα?tanα cosα求出不同时间的tanα的值，见图表5.1.3-1所示 利用公式
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tanα=h l求得不同时间的影长l 见图表5.1.3-1所示
图表5.1.3-1 根据所计算出的数据建立影长-时间变化曲线如下图5.1.3-2所示
影长-时间变化曲线图5.1.3-2 再根据曲线，用excel拟合出时间与影长的变化规律函数为
l = 0.1943*T2 - 4.7694*T + 30.676
5.2模型二
5.2.1模型准备 （1）模型符号说明 α：太阳高度角（°）
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