发布时间 : 星期六 文章随机过程复习题2016更新完毕开始阅读6d717b1e5ef7ba0d4b733bd6
1. 设随机过程X(t)?Acos(?t??),t?R，其中振幅A及角频率?均为常数，相位?是在[??,?]上服从均匀分布的随机变量，求X(t)的一维分布、均值函数、方差函数和自相关函数。
2. 若随机过程X(t)为X(t)=a+Ut, ???t???，式中a为常数，U为（0,1）上均匀分布的随机变量，求均值函数、方差函数和自相关函数。
3. 给定一随机过程X(t)和常数a，试以X(t)的相关函数表示随机过程
Y(t)?X(t?a)?X(t)的自相关函数。
4. 已知随机过程X(t)的均值MX(t)和协方差函数CX(i1,t2),?(t)是普通函数，试求随机过程Y(t)?X(t)??(t)是普通函数，试求随机过程Y(t)?X(t)??(t)的均值和协方差函数。
5．假设有一Possion过程{N(t),t?0}，其强度参数为2，试求 (1) P({N(1)?1})。 (2) P({N(1)?1,N(2)?3}) (3) P({N(2)?3|N(1)?1})
6. 设有一泊松过程{N(t),t?0}，固定两时刻s,t，且s?t，试计算如下条件概率P(N(s)?kN(t)?n),k?0,1,2,?,n
7. 设X(t)?Acosat?Bsinat，其中A，B是相互独立且服从同一高斯（正态）分布N(0,?2)的随机变量，a为常数，试求X(t)的均值与相关函数。
8. 设随机过程X(t)有四个状态的马氏链，它的一步转移概率矩阵为
??0?1?P??2?0??1??21201201?2??0?? 1?2??0??012012试画出其状态传递图和状态的分类。
9．Markov链的状态空间S?{1,2,3}，转移概率矩阵为：
?1/21/20???P??1/41/21/4?
?1/403/4???(2)（1） 求两步转移概率矩阵P
（2） 假设初始分布为P{X0?1}?1/3,P{X0?2}?1/3,P{X0?3}?1/3, 计算P{X2?2}。
（3）求此Markov的平稳分布。
10. 设有一马尔可夫链，其转移状态有两种：一步转移概率矩阵为
?0.6P(1)???0.5?0.4?? ?0.5?说明该链具有遍历性，并求出极限分布。
11．设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}，一步转移矩阵为：
?1/21/41/4???P??03/41/4??001???
求：fii(i?1,2,3),并判断各状态的常返性。
12. 设有四个状态A,B,C,D的马氏链，它的一步转移概率矩阵为
P(1)?1?2??0???1?4??0?120340023025?0?1??3? 0??3??5?试画出它的状态传递图，研究各状态的分类。。
13． 设马氏链的状态空间为S?{1,2,3,?}，转移概率为：pii?1?1/2，p11?1/2，
pi1?1/2,i?S，研究各状态的分类。
14. 假设有两状态的齐次马氏链，其中一步转移概率矩阵为：
?1/21/41/4???P??1/31/31/3?
?1/41/21/4???试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布和稳定分布。 15. 设{B(t);t?0}是标准布朗运动，当x?0时，令
Tx?inf{t?0,B(t)?x}，试求Tx的密度函数。
16. 设{B(t);t?0}是标准布朗运动，当x?0时，令
maxB(s)，试求它的密度函数。
s?[0,t]
17. 证明题：如果股票价格S服从伊藤过程，应用布朗运动二次变差存在的
结论，推导说明以股票为标的资产的衍生工具价格G(S,t)也服从伊藤过程。
18. 简答题 叙述几种重要随机过程的定义
另外：随机过程分类，平稳过程、独立增量过程、平稳独立增量过程，鞅序列的证明， possion过程事件发生间隔的分布、发生时刻的分布、在给定发生次数条件下，发生时刻的联合分布。