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1.绪论
1.1 小波变换背景
小波变换是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到认可一样。
幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法--多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。
小波实际上就是一种以一种很小的“波”的函数表达，1909年哈尔（Alfred Haar）发现了小波，并被命名为哈尔小波（Haar Wavelets）。20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学家Jean Morlet提出了小波变换WT（Wavelets transform）的概念。
法国的科学家Meyer于1996年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，他用缩放（dilations）与平移（translations）均为2(j≥0的整数）的倍数构造了L（R）空间的规范正交基，使小波得到真正的发展。在信号处理中，自从S.Mallat和Inrid Daubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后，小波在信号（如声音信号，图像信号等）处理中得到极其广泛的应用。
小波变换是近十几年新发展起来的一种数学工具,是继一百多年前的傅里叶(Fourier)分析之后的又一个重大突破,它对无论是古老的自然学科还是新兴的高新应用技术学科均产生了强烈的冲击。小波变换是一种全新的变换技术,与传统纯频域分析的傅里叶方法不同,小波变换是一种时频分析方法,它在时频和域频同时具有良好的局部化性质。小波变换对于不同的频率成分在时域上的取样步长是调节性的,高频者小、低频者大,因此在实际应用中完全可以根据需要将图像或信号分解到一些合适的尺度成分上,然后再根据不同的要求作适当的编码。
与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，具有良好的时频局部化特性，能有效的从信号中提取资讯，因而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。
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1.2 小波变换现状
小波变换是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的，现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。
从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理（图象可以看作是二维信号），小波分析的许多分析和应用问题，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随时间是稳定不变的信号（平稳随机过程），处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的（非平稳随机过程），而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。
事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。
⑴小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。
⑵小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。
⑶在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。
从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点：
⑴小波分解可以覆盖整个频域（提供了一个数学上完备的描述）
⑵小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性 ⑶小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率（宽分析窗口），在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率（窄分析窗口） ⑷小波变换实现上有快速算法（Mallat小波分解算法）
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2. 小波变换
2.1 小波变换简介
小波变换是一种全新的变换技术,与传统纯频域分析的傅里叶方法不同,小波变换是一种时频分析方法,它在时频和域频同时具有良好的局部化性质。小波变换是近十几年新发展起来的一种数学工具,是继一百多年前的傅里叶(Fourier)分析之后的又一个重大突破,它对无论是古老的自然学科还是新兴的高新应用技术学科均产生了强烈的冲击。
小波变换对于不同的频率成分在时域上的取样步长是调节性的,高频者小、低频者大,因此在实际应用中完全可以根据需要将图像或信号分解到一些合适的尺度成分上,然后再根据不同的要作适当的编码。因此,小波变换是一种能够获得较好图像复原质量与压缩比的、能够适应未来发展的变换技术,已经成为当今图像压缩编码的主要研究方向。
小波变换的理论是在20世纪80年代后期兴起的新的数学分支，他是继Fourier变换后又一里程碑式的发展。他是空间和频率的局部变换，能更加有效地提取信号和分析局部信号。作为一种新兴的信息处理方法，小波变换已经广泛应用于包括图像处理在内的诸多领域。
数字图像信号包含巨大的信息量，而信道带宽和存储空间的限制给实际应用带来了很大困难，因此图像数据的压缩就变得极为重要。而普遍应用的图像数据压缩技术是以离散余弦变换（DCT）为代表的，该压缩算法在大的压缩比及低比特率的环境时会出现明显的“方块效应”和“蚊式噪声”，同时由于DCT必须存储基本函数，且在运算过程中存在舍入误差，故解压精度受到极大影响；另外一种常用的图像压缩编码算法是以Fourier变换为基础的变换编码，该算法将时域信号变换到频域信号上进行处理，但Fourier变换却不能较好地解决突变信号与非平稳信号的问题。在众多的小波中，选择什么样的小波对信号进行分析是一个至关重要的问题。使用的小波不同，分析得到数据也不同，这是关系到能否达到使用小波分析的目的问题。
为了继承Fourier分析（余弦变换和正弦变换都可以视为Fourier变换的特例）的优点，同时又克服它的许多缺点，人们一直在寻找新的方法。1980年法国科学家Morlet首先提出了小波变换WT（WaveletTransform），引起了许多数学家和工程师的极大关注。
近十多年来经过许多数学家和工程技术人员的努力探索，这门学科的理论基础已经建立，并成为当前应用数学发展的一个新的领域。与Fourier分析相比，小波变换是时间和频率的局域变换，能更加有效地提取信号和分析局部信号。类似于Fourier分析，在小波分析中也有两个重要的数学实体：“积分小波变换”和“小波级数”。
积分小波变换是基小波的某个函数的反射膨胀卷积，而小波级数是称为小波基的一个函数，用两种很简单的运算——“二进制膨胀”与“整数平移”表示。通过这种膨胀和平移运算可以对信号
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进行多尺度的细致的动态分析，从而能够解决Fourier变换不能解决的许多困难问题。利用小波变换可以一次变换整幅图像，不仅可以达到很高的压缩比，而且不会出现JPEG重建图像中的“方块”效应，但编码器复杂，有潜像问题。
由于小波及小波包技术可以将信号或图像分层次按小波基展开，所以可以根据图像信号的性质以及事先给定的图像处理要求确定到底要展开到哪一级为止，从而不仅能有效地控制计算量，满足实时处理的需要，而且可以方便地实现通常由子频带、层次编码技术实现的累进传输编码（即采取逐步浮现的方式传送多媒体图像）。这样一种工作方式在多媒体数据浏览、医学图片远程诊断时是非常必要的。
另外，利用小波变换具有放大、缩小和平移的数学显微镜的功能，可以方便地产生各种分辨率的图像，从而适应于不同分辨率的图像I/O设备和不同传输速率的通信系统。相比之下，利用KL变换进行压缩编码，只能对整幅图像进行；而利用小波变换则能够比较精确地进行图像拼接，因此对较大的图像可以进行分块处理，然后再进行拼接。显然，这种处理方式为图像的并行处理提供了理论依据。
实际上，由于小波变换分析具有以上许多优点，所以在最近颁布的运动图像压缩标准MPEG4中的视觉纹理模式就支持视觉纹理和静态图像编码。这种模式基于零高度树小波算法，在非常宽的比特率范围内具有很高的编码效率。除了具有很高的压缩效率之外，它还提供了空间和质量的可缩放性，以及对任意形状目标的编码。其空间可缩放性高达11级，质量的可缩放性具有连续性。小波公式以累进传输和时间上扩充静态图像分辨率金字塔的形式提供比特率可缩放的编码。编码的位流也可以用于图像分辨率层次抽样。这种技术提供了分辨率的可缩放性，以便处理在交互应用场合广泛的观察条件，以及把2D图像映射到3D虚拟空间。
综上所述，由于小波变换继承了Fourier分析的优点，同时又克服它的许多缺点，所以它在静态和动态图像压缩领域得到广泛的应用，并且已经成为某些图像压缩国际标准（如MPEG-4）的重要环节。当然，像其他变换编码一样，在压缩比特别高的时候，小波变换压缩量化后的重建图像也会产生几何畸变。
由于小波分析克服了Fourier分析的许多弱点，因此它不仅可以用于图像压缩，还可以用于许多其他领域，如信号分析、静态图像识别、计算机视觉、声音压缩与合成、视频图像分析、CT成像、地震勘探和分形力学等领域。总之，可以说凡能用Fourier分析的地方，都可以进行小波分析。小波分析应用前景十分广阔。
当前，小波研究的一个迫切问题是如何将小波研究所取得的重要成果变为工程技术人员所掌握的重要工具，使之尽快应用到工程技术实践中去，特别是将小波分析很好地用于多媒体图像和信号
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