发布时间 : 星期三 文章人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数同步测试及解析[精编]更新完毕开始阅读6dbcef275a1b6bd97f192279168884868762b8d5
实际问题与二次函数
第1课时 二次函数与图形面积问题 [见A本P23]
1．小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是( A ) A．4 cm2 B．8 cm2 C．16 cm2 D．32 cm2
【解析】 设矩形一边长为x cm，则另一边长为(4－x)cm，则S矩形＝x(4－x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4(0＜x＜4)，故当x＝2时，S最大值＝4 cm2.选A.
2．如图22－3－1所示，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( A )
图22－3－1
A．当C是AB的中点时，S最小 B．当C是AB的中点时，S最大 C．当C为AB的三等分点时，S最小 D．当C为AB的三等分点时，S最大 【解析】 设AC＝x，则BC＝1－x，所以
S＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2
?x－1?＋1.因为二次项系?2?2
2
1
数大于0，所以当x＝时，S的值最小，即点C是AB的中点时，两个正方形的面积和最小，故选
2
A.
3．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足关系y＝－(x－12)2＋144(0 【解析】 直接根据二次函数的性质作答，当x＝12时，y有最大值为144. 4．在边长为4 m的正方形铅皮中间挖去一个面积至少是1 m2的小正方形，则剩下的四方框形铅皮的面积y(m2)与小正方形边长x(m)之间的函数关系式是__y＝－x2＋16(1≤x<4)__，y的最大值是__15__m2. 【解析】 y＝S大正方形－S小正方形，所以y＝42－x2，即y＝－x2＋16，又1≤x<4，所以当x＝1时，y最大 2 值为15 m. 5．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__12.5__cm2. 【解析】 设剪成的两段长分别为x cm，(20－x)cm，这两个正方形面积之和为y， x?2?20－x?212?2 则y＝?4?＋ ?4?＝16(x＋400－40x＋x) 11 ＝(2x2－40x＋400)＝(x2－20x＋200) 16811 ＝[(x2－20x＋100)＋100]＝(x－10)2＋12.5，故两个正方形面积之和的最小值为12.5 cm2. 88 6．某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图22－3－2所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗．他已备足可以修高为1.5 m、长为18 m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为x m，即AD＝EF＝BC＝x m．(不考虑墙的厚度) (1)若想使水池的总容积为36 m3，x应等于多少？ (2)求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (3)若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？ 图22－3－2 【解析】(1)水池的容积为长×宽×高，而长为x m，则宽为(18－3x)m，高为1.5 m，根据总容积为 36 m3，易列方程求x的值；(2)，(3)根据容积V与x的函数关系，结合二次函数性质即可求解． 解：(1)∵AD＝EF＝BC＝x，∴AB＝18－3x， ∴水池的总容积为1.5x(18－3x)＝36， 即x2－6x＋8＝0，解得x＝2或4，∴x应为2或4. (2)由(1)知V与x的函数关系式为： V＝1.5x(18－3x)＝－4.5x2＋27x， x的取值范围是0 981 (3)V＝－4.5x2＋27x＝－(x－3)2＋， 22 ∴当x＝3时，V有最大值40.5， ∴若使水池的总容积最大，x应为3，最大容积为40.5 m3. 7．如图22－3－3，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为x(s)，△PBQ的面积为y(cm2)． (1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)求△PBQ的面积的最大值． 图22－3－3 1 解：(1)∵S△PBQ＝PB·BQ， 2 PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x， 1 ∴y＝(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0 2 9?281?2 (2)由(1)知y＝－x＋9x，∴y＝－?x－2?＋. 4 9 ∵当0 2 ∴当x＝4时，y最大值＝20，即△PBQ的最大面积是20 cm2. 8如图22－3－4，在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知E，F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x(cm)． (1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V； (2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大，试问x应取何值． 图22－3－4 解：(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a＝2x，EF＝2a＝2x，∵AE＋EF＋BF＝AB， ∴x＋2x＋x＝24，∴x＝6， ∴a＝62，∴V ＝a3＝(62)3＝4322(cm3)． (2)设包装盒的底面边长为a cm，高为h cm，则a＝2x， 24－2xh＝ ＝122－2x， 2 ∴S＝4ah＋a2 ＝42x·2(12－x)＋(2x)2＝－6x2＋96x＝－6(x－8)2＋384. ∵0 9．已知在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20. (1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长； (2)当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？ (3)当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明． 11 解：(1)依题意得：y＝x(20－x)＝－x2＋10x(0 22 1 解方程48＝－x2＋10x得：x1＝12，x2＝8. 2 ∴当△ABC面积为48时BC的长为12或8. 11 (2)由(1)得：y＝－x2＋10x＝－(x－10)2＋50， 22 ∴当x＝10即BC＝10时，△ABC的面积最大，最大面积是50. (3) △ABC的周长存在最小的情形，理由如下： 由(2)可知△ABC的面积最大时，BC＝10，BC边上的高也为10， 过点A作直线l平行于BC，作点B关于直线l的对称点B′， 连接B′C交直线l于点A′，再连接A′B，AB′， 则由对称性得：A′B′＝A′B，AB′＝AB， ∴A′B＋A′C＝A′B′＋A′C＝B′C， 当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得： L＝AB＋AC＋BC＝AB′＋AC＋BC>B′C＋BC， 当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时 L＝AB＋AC＋BC＝A′B′＋A′C＋BC＝B′C＋BC， 因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小； 这时由作图可知：BB′＝20， ∴B′C＝202＋102＝105， ∴L＝105＋10， 因此当ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为105＋10. 10．用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图22－3－5中的一种)．设竖档AB＝x米，请根据图中图案回答下列问题：(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有线段的长度和，所有横档和竖档分别与AD，AB平行) (1)在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？ (2)在图②中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？ (3)在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？ 图22－3－5 12－3x 解：(1)当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC＝＝4－x， 3 ∴矩形框架ABCD的面积为AB·BC＝x(4－x)． 令x(4－x)＝3，解得x＝1或3， ∴当x＝1或3时，矩形框架ABCD的面积为3平方米． (2)当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时， 12－4x12－4x4BC＝，∴矩形框架ABCD的面积S＝x·＝－x2＋4x， 333 43 当x＝－＝时，S最大值＝3， 42－?2×??3?3 ∴当x＝时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为3平方米． 2 a－nx (3)当不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档时，BC＝， 3 a－nxna ∴矩形框架ABCD的面积S＝x·＝－x2＋x， 333 a3aa2 当x＝－＝时，S最大值＝， n2n12n－?2×??3?aa2 ∴当x＝时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为平方米． 2n12n