发布时间 : 星期一 文章厦门理工学院 大一上 高等数学 期中试卷 评分标准更新完毕开始阅读6e1fcea6cfc789eb172dc8a9
标准答案及评分标准
课程名称 教研室 命题负责人
高等数学(I)期中 高等数学教研室 欧启通
考试时间 适用专业班级 教研室主任
120分钟 2012全院 翟绍辉
一、填空题（每题3分，共24分），请把答案写在下面表格中对应的位置。
1．
y?lgxx?arcsin的定义域为[-3,0)?(2,3]． x?232．limn(n??11?......?)? 1 ． 22n??n?n?3.根据函数在一点连续和可导的关系，可知函数
??x2?2x,x?0?f(x)??2x,0?x?1 的不可导点是x?1．
?1?,x?1?x4.已知lim?x?0f(x0?3?x)?f(x0)=18，则f?(x0)?-6．
?x5. 曲线y?cosx在x??3处的法线方程为2x?3y?3?2??0．
236. 设y?xsinx(x?0)，则y?()? 1 ．
2??dy1?x?ln1?t27. 设函数?，则一阶导数=
dxt??y?arctant8. 设y?xe，则yx(n)?ex(x?n)．
二、选择题：（每题2分，共20分），请把答案写在下面表格中对应的位置。
1．函数y?ln(x?x2?1)是 [ ]
（A）偶函数 B）奇函数 （C）非奇非偶函数 （D）既是奇函数又是偶函数
x?x02．若f(x)在点x0的某个邻域中有定义，并且limf(x)存在，则下列结论中正确的是[ ] (Ａ) 若f(x)?0, 则
x?x0limf(x)?0 (Ｂ) 若f(x)?0, 则limf(x)?0；
x?x0 1
(Ｃ) 若f(x0)?0, 则limf(x)?0 (Ｄ) 若f(x)?0, 则limf(x)?0
x?x0x?x03.设数列{xn}，{yn}满足limxnyn=0，则下列断言正确的是 [ ]
n??1?（A）若xn发散，则yn发散 （B）若???为无穷小，则yn必为无穷小
?xn?（C）若xn有界，则yn必为无穷小 （D）若xn无界，则yn必有界
4.点x?0是f(x)?sinx?sin1的x[]
（A）可去间断点 （B）无穷间断点 （C）振荡间断点 （D）跳跃间断点 5．若y?f(x)有反函数x?g(y)，并且f(2)?3，f?(2)?5，则 [ ] （A）g?(3)?5 （B）g?(2)?5 （C）g?(2)?6. 利用微分近似公式计算，可得e?0.111 （D）g?(3)? 55? [ ]
（A）?1 （B）0.1 （C）0.9 （D）1.1 7．当x?1时，与无穷小量(1?x)等价的是 （A）1?x （B）（1?31212 （C）（1?x） （D）1?x x）28．在区间??1,1?上，下列函数满足罗尔中值定理的是 [ ] (A)f?x??（C）f?x??32x2?13 （B）f?x??1 21?xx2 （D）f?x??1?3x2?2x
三、基本计算题（每题6分，共18分），请把答案写在问题的下面。
1.求极限limx?01?cos?2x2?x2sin2x22
122(2x)1?cos?2x?解：lim2----------------------------------------------------3分 =lim222x?0xsin2xx?0x?2x21?4x4=lim24?1--------------------------------------------------------------------------6分 x?02x2、求极限lim{n[ln(n?2)?lnn]}
n??解：lim{n[ln(n?2)?lnn]}
n?? 2
=limln(n??n?2n)---------------------------------------------------------------------2分 n2n?limln[(1?)2]2------------------------------------------------------------------4分 n??n?lne2?2---------------------------------------------------------------------------6分
3. 求lim?x?0解：lim?x?0１??1?x?. ?xe?1?１??1?x? ?xe?1?ex?1?x=lim--------------------------------------------------------------------------2分 x?0x(ex?1)ex?1?x?lim------------------------------------------------------------------------4分 x?0x?xex?1ex1?lim?lim?-------------------------------------------------------------6分 x?02xx?022四、解答题（每题8分，共32分）， 请把答案写在问题的下面。
?x2x?11． 设函数f(x)??为了使函数f(x)在x?1处连续且可导，a，b应取什么
ax?bx?1?值。
解：limf(x)?lim(ax?b)?a?b------------------------------------------------------1分 ++x?1x?12limf(x)?limx?1----------------------------------------------------------------2分 ??x?1x?1且f(1)?1，因为f(x)在点x?1处连续，所以，
x?1+limf(x)?limf(x)?f(1)，故a?b?1。----------------------------------------4分 ?x?1f(x)?f(1)x2?1f(1)?lim?lim?2------------------------------------------------5分 ?x?1?x?1x?1x?1'?f?'(1)?lim?x?1f(x)?f(1)(ax?b)?1(ax?b)?(a?b)?lim?lim?a----------------7分 x?1?x?1?x?1x?1x?1''又因为f(x)在x?1处可导，f?(1)?f?(1)， 所以，a?2，b??1--------------------8分
说明：左右导数没有按定义求，不能得分。
x)2．求极限lim(cot?x?01lnx
3
1lnx解：lim(cotx)?x?0
ln(cotx)?lime?x?0lim1ln(cotx)lnx?ex?0?limlnx----------------------------------------------------------------3分
?etanx?(?csc2x)1x?0?xx22?ex?0?limxtanx?sin2x---------------------------------------------------------------6分
?ex?0??x?e?1-----------------------------------------------------------------------------8分
3. 设函数y?y(x)由方程e?xy?e所确定，求y''(0)
解：两边求导数得 ey'?y?xy'?0------------------------------------------------------2分
yylim(x?ey)y'??y----------------------------------------------------------------------------3分
y???y-------------------------------------------------------------------------------4分 yx?ey'(x?ey)?y(1?eyy')y''??------------------------------------------------------------6分
(x?ey)2Qx?0时，ey?0?e, ?y?1,y'(0)??11??, 0?ee1?(0?e)?(1?e?(?e?1))?1?2y''(0)??e???e---------------------------------------8分
(0?e)2e2五、设y?ln(x?x2?a2)，求dy
解：y'?1x?x2?a2122(x?x2?a2)'---------------------------------------------------2分
12x?a22 ?x?x?a(1??2x)--------------------------------------------------5分
?1x?x?a1x?a2222(x2?a2?xx?a22)?1x?a22---------------------------------------------7分
dy?dx-------------------------------------------------------------------------8分
五、综合题（每题5分，共10分）， 请把答案写在问题的下面。
1. 当0?a?b，试证：
b?abb?a?ln?. baa证明：令f(x)?lnx， 可知 f(x)在[a,b]连续，在(a,b)上可导，由拉格朗日定理可知，
4