发布时间 : 星期二 文章数列例题(含答案)更新完毕开始阅读6e499d18aef8941ea66e0535
8．已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x﹣14x+45=0的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn=1﹣
2
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）记cn=anbn，求证cn+1≤cn．
2
【解答】解：（1）∵a3，a5是方程x﹣14x+45=0的两根，且数列{an}的公差d＞0， ∴a3=5，a5=9，公差∴an=a5+（n﹣5）d=2n﹣1． 又当n=1时，有b1=S1=1﹣
当
∴数列{bn}是等比数列，∴
（2）由（Ⅰ）知，
∴
∴cn+1≤cn．
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5=35，a5和a7的等差中项为13． （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令
（n∈N），求数列{bn}的前n项和Tn．
﹡
【解答】解：（Ⅰ） 设等差数列{an}的公差为d，
因为S5=5a3=35，a5+a7=26， 所以
，…（2分）
解得a1=3，d=2，…（4分） 所以an=3+2（n﹣1）=2n+1； Sn=3n+
×2=n+2n．…（6分）
2
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知an=2n+1， 所以bn=
=
…（8分）
5
=所以Tn=
，…（10分）
．…（12分）
10．已知等差数列{an}是递增数列，且满足a4?a7=15，a3+a8=8． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令bn=
（n≥2），b1=，求数列{bn}的前n项和Sn．
2
【解答】解：（1）根据题意：a3+a8=8=a4+a7，a4?a7=15，知：a4，a7是方程x﹣8x+15=0的
两根，且a4＜a7
解得a4=3，a7=5，设数列{an}的公差为d 由
故等差数列{an}的通项公式为：（2）
=
．
又∴
11．设f（x）=x，等差数列{an}中a3=7，a1+a2+a3=12，记Sn=数列
的前n项和为Tn．
3
=
，令bn=anSn，
（Ⅰ）求{an}的通项公式和Sn； （Ⅱ）求证：
；
（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，由a3=a1+2d=7，a1+a2+a3=3a1+3d=12． 解得a1=1，d=3∴an=3n﹣2 ∵f（x）=x∴Sn=
3
=an+1=3n+1．
（Ⅱ）bn=anSn=（3n﹣2）（3n+1） ∴
∴
6
（Ⅲ）由（2）知，∴
当m=1时，7=当m=3时，当m=5时，
2
∴即
，
∵T1，Tm，Tn成等比数列．
，n=1，不合题意；当m=2时，==
，n无正整数解；当m=4时，，n无正整数解；当m=6时，
2
===
，n=16，符合题意； ，n无正整数解； ，n无正整数解； ，而
，
当m≥7时，m﹣6m﹣1=（m﹣3）﹣10＞0，则
所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列．
综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列．
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn=pn﹣2n+q（p，q∈R），n∈N+． （Ⅰ）求的q值；
（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，bn满足an=2log2bn，求数列{bn}的前n和Tn． 【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=p﹣2+q
22
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=pn﹣2n+q﹣p（n﹣1）+2（n﹣1）﹣q=2pn﹣p﹣2 ∵{an}是等差数列，a1符合n≥2时，an的形式， ∴p﹣2+q=2p﹣p﹣2， ∴q=0 （Ⅱ）∵
，由题意得a3=18
2
又a3=6p﹣p﹣2，∴6p﹣p﹣2=18，解得p=4 ∴an=8n﹣6
4n﹣3
由an=2log2bn，得bn=2． ∴
，即{bn}是首项为2，公比为16的等比数列
∴数列{bn}的前n项和
．
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2+a4=14，S7=70． （Ⅰ）求数列an的通项公式； （Ⅱ）设bn=
，数列bn的最小项是第几项，并求出该项的值．
…（2分）
【解答】解：（I）设公差为d，则有
解得
以an=3n﹣2． …（4分）
7
（II） …（6分）
所以=﹣1 …（10分）
当且仅当，即n=4时取等号，
故数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23． …（12分）
14．己知各项均为正数的数列{an}满足an+1﹣an+1an﹣2an=0（n∈N），且a3+2是a2，a4的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式an；
n+1
（2）若bn=anan，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn+n?2＞50成立的正整数n的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）∵an+1﹣an+1an﹣2an=0，∴（an+1+an）（an+1﹣2an）=0， ∵数列{an}的各项均为正数， ∴an+1+an＞0， ∴an+1﹣2an=0，
即an+1=2an，所以数列{an}是以2为公比的等比数列． ∵a3+2是a2，a4的等差中项， ∴a2+a4=2a3+4， ∴2a1+8a1=8a1+4， ∴a1=2，
n
∴数列{an}的通项公式an=2．
n
（Ⅱ）由（Ⅰ）及bn=得，bn=﹣n?2， ∵Sn=b1+b2++bn，
234n
∴Sn=﹣2﹣2?2﹣3?2﹣4?2﹣﹣n?2①
2345nn+1
∴2Sn=﹣2﹣2?2﹣3?2﹣4?2﹣﹣（n﹣1）?2﹣n?2②
2345nn+1
①﹣②得，Sn=2+2+2+2+2++2﹣n?2 =
n+1
n+1
2
2
2
2
*
，
n+1
要使Sn+n?2＞50成立，只需2﹣2＞50成立，即2
n+1
∴使Sn+n?2＞50成立的正整数n的最小值为5．
＞52，
15．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）
*
在直线x﹣y+2=0上，n∈N．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）设
，求数列{cn}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），
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