发布时间 : 星期六 文章2018年北京市海淀区高三一模理科数学试题及参考答案更新完毕开始阅读6eb60f9b541810a6f524ccbff121dd36a22dc478
··················································································· 12分 ?0 ·
故直线TP和直线TQ的斜率和为零 故?TMN??TNM
················································································ 13分 故TM?TN ·
故T在线段MN的中垂线上，即MN的中点横坐标为2
····································································· 14分 故|OM|?|ON|?4 ·
注：第（Ⅰ）题解得a、b、c的值有错则扣1分；第（Ⅱ）题直线TP、TQ的斜率不存在的情况若简单说明或未说明均不扣分；法1中计算|OM|?|ON|和法2中计算k1?k2如果没有代入韦达定理直接出结果扣1分；法2中不写“MN的中点横坐标为2”不扣分。
20. （本题满分13分）
（Ⅰ）A是“N?数表 ”，其“N?值”为3，B不是“N?数表” ························· 3分 （Ⅱ）方法一：假设ai,j和ai',j'均是数表A的“N?值”，
① 若i?i'，则ai,j?max{ai,1,ai,2,...,ai,n}?max{ai',1,ai',2,...,ai',n}?ai',j'； ② 若j?j'，则ai,j?min{a1,j,a2,j,...,an,j}?min{a1,j',a2,j',...,an,j'}?ai',j' ； ③ 若i?i'，j?j'，则一方面
ai,j?max{ai,1,ai,2,...,ai,n}?ai,j'?min{a1,j',a2,j',...,an,j'}?ai',j'，
另一方面
ai',j'?max{ai',1,ai',2,...,ai',n}?ai',j?min{a1,j,a2,j,...,an,j}?ai,j；
········ 8分 矛盾. 即若数表A是“N?数表”，则其“N?值”是唯一的 ·
方法二：假设ai,j和ai',j'均是数表A的“N?值”，
ai,j?max{ai,1,ai,2,...,ai,n}?ai,j'?min{a1,j',a2,j',...,an,j'}?ai',j'ai',j'?max{ai',1,ai',2,...,ai',n}?ai',j?min{a1,j,a2,j,...,an,j}?ai,j， ；
故ai,j?ai',j'，矛盾. 即若数表A是“N?数表”，则其“N?值”是唯一的.
············································································································ 8分 （Ⅲ）方法一：X所有可能的取值为19,20,21,...,341,342,343.
记?19中使得X?k的数表A的个数记作nk，k?19,20,21,...,341,342,343，则
nk?19?Ck?1?(18!)?C361?k?(18!)?[(18)!].
218182
218182则n362?k?19?C361?k?(18!)?Ck?1?(18!)?[(18)!]?nk.
令pk?nkN（其中N?n19?n20?n21?????n343），k＝19,20,21,…,343
则pk?p362?k，p19?p20?p21?????p343?1
注意到 E(X)?p19?19?p20?20?p21?21?????p343?343
E(X)?p343?19?p342?20?p341?21?????p19?343
?p19?343?p20?342?p21?341?????p343?19
此时有2E(X)?p19?362?p20?362?p21?362?????p343?362，故E(X)?181.
············································································································ 13分 方法二：对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A?(ai,j)19?19.
定义数表B?(bj,i)19?19如下，将数表A的第i行，第j列的元素写在数表B的第j行，第i列，即
bj,i?ai,j（其中1?i?19，1?j?19）
显然有：
① 数表B是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ② 数表B的第j行的元素，即为数表A的第j列的元素 ③ 数表B的第i列的元素，即为数表A的第i行的元素
④ 若数表A中，ai,j是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值 则数表B中，bj,i是第i列中的最大值，也是第j行中的最小值. 定义数表C?(cj,i)19?19如下，其与数表B对应位置的元素的和为362，即
cj,i?362?bj,i（其中1?i?19，1?j?19）
显然有
① 数表C是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ② 若数表B中，bj,i是第i列中的最大值，也是第j行中的最小值 则数表C中，cj,i是第i列中的最小值，也是第j行中的最大值 特别地，对由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A?(ai,j)19?19 ① 数表C是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ② 若数表A中，ai,j是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值 则数表C中，cj,i是第i列中的最小值，也是第j行中的最大值
即对任意的A??19，其“N?值”为ai,j（其中1?i?19，1?j?19），则C??19，且其“N?值”为cj,i?362?bj,i?362?ai,j.
记C?T(A)，则T(C)?A，即数表A与数表C?T(A)的“N?值”之和为362，故可按照上述方式对?19中的数表可以两两配对.
记?19中使得X?k的数表A的个数记作nk，k＝19,20,21,…,343，则
nk?n362?k
令pk?nkN（其中N?n19?n20?n21?????n343），k＝19,20,21,…,343
则pk?p362?k，p19?p20?p21?????p343?1
注意到 E(X)?p19?19?p20?20?p21?21?????p343?343
E(X)?p343?19?p342?20?p341?21?????p19?343
?p19?343?p20?342?p21?341?????p343?19
此时有2E(X)?p19?362?p20?362?p21?362?????p343?362，故E(X)?181.
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