2010年中考数学真题分类压轴汇编之开放探究型问题 - 图文 联系客服

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∵∠MBN=60°,MB=NB, ∴△BMN是等边三角形. ∴BM=MN.

∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.

根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长. ⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F, ∴∠EBF=90°-60°=30°. 设正方形的边长为x,则BF=在Rt△EFC中,

222

∵EF+FC=EC, ∴(

x232)+(x+x)=22x3x,EF=. 22?3?1?.

2解得,x=2(舍去负值). ∴正方形的边长为2.

22.(2010湖北随州)已知抛物线y?ax?bx?c(a?0)顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线y?(1)求字母a,b,c的值;

(2)在直线x=1上有一点F(1,),求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形;

(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求

出t值,若不存在请说明理由.

25作垂线,垂足为M,连FM(如图). 434

【答案】(1)a=-1,b=2,c=0

(2)过P作直线x=1的垂线,可求P的纵坐标为MF=PF=1,故△MPF为正三角形.

113.此时,MP=,横坐标为1?42第 29 页 共 45 页

(3)不存在.因为当t<

55,x<1时,PM与PN不可能相等,同理,当t>,x>1时,442PM与PN不可能相等.

23.(2010 内蒙古包头)已知二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象经过点A(1,0),

B(2,0),C(0,?2),直线x?m(m?2)与x轴交于点D.

(1)求二次函数的解析式;

(2)在直线x?m(m?2)上有一点E(点E在第四象限),使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似,求E点坐标(用含m的代数式表示); (3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形?若存在,请求出m的值及四边形ABEF的面积;若不存在,请说明理由.

y

x O

?a?b?c?0,?【答案】解:(1)根据题意,得?4a?2b?c?0,

?c??2.?解得a??1,b?3,c??2.

y A O (F2)F1 C (x=m) E1 (E2) B D x ?y??x?3x?2. ·························· (2分)

(2)当△EDB∽△AOC时,

2AOCOAOCO得或, ??EDBDBDED∵AO?1,CO?2,BD?m?2, AOCO12当时,得, ??EDBDEDm?2m?2∴ED?,

2∵点E在第四象限,∴E1?m,当

??2?m?························································ (4分) ?.

2?AOCO12??时,得,∴ED?2m?4, BDEDm?2ED4?2m). ∵点E在第四象限,∴E2(m,························································ (6分)

(3)假设抛物线上存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形,则

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EF?AB?1,点F的横坐标为m?1,

当点E1的坐标为?m,??2?m?2?m??Fm?1,时,点的坐标为1???,

2?2??∵点F1在抛物线的图象上, ∴

∴2m?11m?14?0, ∴(2m?7)(m?2)?0, ∴m?22?m??(m?1)2?3(m?1)?2, 全品中考网 27, ,m?2(舍去)

23??, 4??∴F1?,∴S?5?2ABEF?1?33············································································ (9分) ?. ·

44当点E2的坐标为(m,4?2m)时,点F2的坐标为(m?1,4?2m), ∵点F2在抛物线的图象上,

∴4?2m??(m?1)?3(m?1)?2, ∴m?7m?10?0,

∴(m?2)(m?5)?0,∴m?2(舍去),m?5,

22?6), ∴F2(4,∴SABEF?1?6?6.

(12分)

24.(2010 湖南湘潭)如图,直线y??x?6与x轴交于点A,与y轴交于点B,以线段AB为直径作⊙C,抛物线y?ax?bx?c过A、C、O三点.

(1) 求点C的坐标和抛物线的解析式;

(2) 过点B作直线与x轴交于点D,且OB2=OA·OD,求证:DB是⊙C的切线; (3) 抛物线上是否存在一点P, 使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形,如果

存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

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2yx26题图

【答案】解:(1)A(6,0),B(0,6) ……………………1分

o

连结OC,由于∠AOB=90,C为AB的中点,则OC?1AB,

2

所以点O在⊙C上(没有说明不扣分).

过C点作CE⊥OA,垂足为E,则E为OA中点,故点C的横坐标为3. 又点C在直线y=-x+6上,故C(3,3) ……………………2分 抛物线过点O,所以c=0, 又抛物线过点A、C,所以

?3?9a?3b10?36a?6b,解得:a??,b?2

3所以抛物线解析式为y??12x?2x …………………3分 3o

(2)OA=OB=6代入OB2=OA·OD,得OD=6 ……………………4分 所以OD=OB=OA,∠DBA=90. ……………………5分 又点B在圆上,故DB为⊙C的切线 ……………………6分 (通过证相似三角形得出亦可)

(3)假设存在点P满足题意.因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90,

要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形,

则 ∠CAP=90或 ∠COP=90, ……………………7分 若∠CAP=90,则OC∥AP,因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b. 又AP过点A(6,0),则b=-6, ……………………8分 方程y=x-6与

x2??3x1?612y??x?2x联立解得:y1?0,y2??9,

3o

o

o

o

?? 故点P1坐标为(-3,-9) ……………………9分 若∠COP=90,则OP∥AC,同理可求得点P2(9,-9) (用抛物线的对称性求出亦可)

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o