发布时间 : 星期三 文章向量代数与空间解析几何教案更新完毕开始阅读6f0bbcd548fe04a1b0717fd5360cba1aa8118cd0
提示：先求出向量MA及MA，应用上求夹角的公式。 二、向量积：
a) 概念：设向量c是由向量a与b按下列方式定义：
??
c 的模c?absin?，式中?为向量a与b的夹角。
c的方向垂直与a与b的平面，指向按右手规则从a转向b。
※注意：数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。 b) 公式：c?a?b f) 性质：Ⅰ.a?a?0
Ⅱ.两个非零向量a与b平行a∥b的充分必要条件为：a?b?0 Ⅲ. a?b??b?a
Ⅳ. (a?b)?c?a?c?b?c Ⅴ. (?a)?c?a?(?c)??(a?c) c) 几个等价公式：
Ⅰ.坐标表示式：设a?{ax,ay,az}，b?{bx,by,bz}则
?为数
a?b?(aybz?azby)i?(azbx?axbz)j?(axby?aybx)k
iⅡ.行列式表示式：a?b?axbxjaybykaz bzd) 例子：已知三角形ABC的顶点分别为：A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求
三角形ABC的面积。 解：根据向量积的定义，S?ABC?11ABACsin?C?AB?AC 22由于AB＝{2,2,2}，AC＝{1,2,4}
i因此AB?AC?2jk22?4i?6j?2k
124于是S?ABC?
112AB?AC?4?(?6)2?22?14 22
小结： 向量的数量积（结果是一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）（注意共线、
共面的条件） 作业：
第三节 平面及其方程
教学目的：介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重
要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。
教学重点：1.平面方程的求法 2.两平面的夹角
教学难点：平面的几种表示及其应用 教学内容：
一、平面的点法式方程
1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。
平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程
已知平面上的一点M0(x0,y0,z0)和它的一个法线向量n?{A,B,C}，对平面上的任一点M(x,y,z)，有向量M0M?n，即
n?M0M?0
代入坐标式有：
A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0
此即平面的点法式方程。
（1）
例1：求过三点M1（2，－1，4）、M2（－1，3，－2）和M3（0，2，3）的平面方程。
解：先找出这平面的法向量n，
i
jk?1n?M1M2?M1M3??34?6?14i?9j?k
?23 由点法式方程得平面方程为
14(x?2)?9(y?1)?(z?4)?0
即：
14x?9y?z?15?0
二、 平面的一般方程
任一平面都可以用三元一次方程来表示。
平面的一般方程为：
Ax?By?Cz?D?0
几个平面图形特点：
1）D＝0：通过原点的平面。
2）A＝0：法线向量垂直于x轴，表示一个平行于x轴的平面。 同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面。
3）A＝B＝0：方程为CZ?D?0，法线向量{0,0,C}，方程表示一个平行于xoy面的平面。
同理：AX?D?0和BY?D?0分别表示平行于yoz面和xoz面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：5x?6y?7z?11?0都表示一个平面，该平面的法向量为n?{5,6,?7}
例2：设平面过原点及点(6,?3,2)，且与平面4x?y?2z?8垂直，求此平面方程。 解：设平面为Ax?By?Cz?D?0，由平面过原点知D?0
由平面过点(6,?3,2)知6A?3B?2C?0，
?2?n?{4,?1,2} ?4A?B?2C?0 ?A?B??C
3所求平面方程为2x?2y?3z?0三．两平面的夹角 定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。
设平面?1:A1x?B1y?C1z?D1?0，?2:A2x?B2y?C2z?D2?0
??n1?{A1,B1,C1}， n2?{A2,B2,C2}按照两向量夹角余弦公式有：
cos??|A1A2?B1B2?C1C2|A1?B1?C1?A2?B2?C2222222
三、几个常用的结论
设平面1和平面2的法向量依次为n1?{A1,B1,C1}和n2?{A2,B2,C2}