发布时间 : 星期二 文章1990年全国高考数学试题及答案更新完毕开始阅读6fa3be52a66e58fafab069dc5022aaea998f41f6
三、解答题.7
(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.
[Key] 三、解答题.
(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.
解法一:
①
由②式得 d=12-2a.
③
整理得 a2-13a+36=0 解得 a1=4,a2=9. 代入③式得 d1=4,d2=-6.
从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x ①
由①式得 x=3y-12. ③
将③式代入②式得 y(16-3y+12)=(12-y)2, 整理得 y2-13y+36=0. 解得 y1=4,y2=9. 代入③式得 x1=0,x2=15.
从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
[Key] (22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.
解法一:由已知得
解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,
sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结
连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有
解法三:由题设得 4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).
将②式代入①式,可得 sin(α-)=sin(-β). 于是 α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z), 或 α-=2kπ+(-β)(k∈Z).
若 α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z). 于是 sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.
由此可知 α-=2kπ+(-β)(k∈Z), 即 α＋β＝2+2kπ(k∈Z).
所以
(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.
[Key] (23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.
解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.
又已知 SC⊥DE,BE∩DE＝E, ∴SC⊥面BDE, ∴SC⊥BD.
又 ∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上, ∴SA⊥BD.
而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.
∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC, ∴BD⊥DE,BD⊥DC.
∴∠EDC是所求的二面角的平面角. ∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC. 设SA＝a,
又因为AB⊥BC,
∴∠ACS＝30°.
又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.
解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.
又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE, ∴SC⊥BD.
由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面 ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE. ∵DE面BDE,DC面BDC,
∴∠EDC是所求的二面角的平面角. 以下同解法一.
(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.
[Key] (24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.
解法一:设z＝x+yi,代入原方程得
于是原方程等价于方程组
由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.
情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为 x2+2│x│=a. ③
(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a. ④
.
由此可知:当a=0时,方程④无正根;