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1．3 算法案例
教学目标：掌握三个案例，理解辗转相除法，更相减损术，秦九韶算法，进位制。 教学重、难点：
掌握辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法，掌握秦九韶算法，进位制的转换。 教学过程： 案例1 辗转相除法与更相减损术
一、创设情景，揭示课题 1．求18与30的最大公约数
（短除法：求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。） 2．求8251与6105的最大公约数
(如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。) 二、新课讲授
1．利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；
第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；
第三步：若r1＝0，则r1为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；??
依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn－1即为所求的最大公约数。 2．利用更相减损术求最大公约数的步骤如下:
第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约减的数的乘积就是所求的最大公约数。
(注：第一步也可省略)
3．辗转相除法与更相减损术的区别：
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。
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三、典例分析
例1（课本P34）用辗转相除法求8251与6105的最大公约数。 解：8251＝6105×1＋2146
6105＝2146×2＋1813 2146＝1813×1＋333 1813＝333×5＋148 333＝148×2＋37
148＝37×4＋0 所以， 8251与6105的最大公约数是37。 练习1 用辗转相除法求98和63的最大公约数。
例2（课本P36） 用更相减损术求98和63的最大公约数。 解：98－63＝35
63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14
14－7＝7 所以，98与63的最大公约数是7。
练习2（课本P45） 分别用辗转相除法、更相减损术求下列两数的最大公约数。 （1）225，135 （2）98，196 （3）72，168 答案：（1）45 （2）98 （3）24
案例2 秦九韶算法
一、创设情景，揭示课题
已知一个5次多项式为f(x)?4x5?2x4?3.5x3?2.6x2?1.7x?0.8，求： （1） f（1）； 7.8
（2） f（5）；若直接将x?5代入计算，共需要做 次乘法运算， 次加法运算。15，5 有没有一种算法可以减少计算次数的？ 二、新课讲授
秦九韶算法：将求n次多项式f（x）的值转化为求n个一次多项式的值。 三、典例分析
例1 （课本P38） 已知一个5次多项式为f(x)?4x?2x?3.5x?2.6x?1.7x?0.8， 用秦九韶算法求这个多项式当x?5时的值。
解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
2
5432 f(x)?4x5?2x4?3.5x3?2.6x2?1.7x?0.8
432 ?(4x?2)x?3.5x?2.6x?1.7x?0.8
?((4x?2)x?3.5)x3?2.6x2?1.7x?0.8 ?(((4x?2)x?3.5)x?2.6)x2?1.7x?0.8
?((((4x?2)x?3.5)x?2.6)x?1.7)x?0.8
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值： v0=4；
v1=4×5+2=22; v2=22×5+3.5=113.5; v3=113.5×5-2.6=564.9; v4=564.9×5+1.7=2826.2; v5=2826.2×5-0.8=14230.2; 所以，当x=5时，多项式的值等于14130.2
思考：将x=5代入计算，共做了 次乘法运算， 次加法运算。5,5
练习1 已知f(x)?x5?5x4?10x3?10x2?5x?1，用秦九韶算法求当x??2时的值。 思考：
（1）用秦九韶算法计算多项式f(x)＝anxn＋an－1xn1＋?＋a1x＋a0当x＝x0时的值时，需要 次
－
乘法运算， 次加法运算。
（2）一次多项式kx+b的常数k、b有什么规律？
练习2 已知f(x)＝x5＋2x 3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为( )
A．27 B．11 C．109 D．36
解析：当x＝3时，v0＝1，v1＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36.
532练习3 已知f(x)?x?x?x?x?1，用秦九韶算法求当x??2时的值。
点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算。 四、作业
用秦九韶算法求f(x)?x?2x?3x?4x?5x?6在x=2时的值。
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5432案例3 进位制
一、创设情景，揭示课题
在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的,还有七进制、十二进制等，如一周七天，一年十二个月。那么什么是进位制？不同的进位制之间又有什么联系呢？ 二、新课讲授
（1）“满几进一”就是几进制，几进制的基数（都是大于1的整数）就是几。
（2）进位制的表示：十进制用0~9十个数字表示；二进制用0和1两个数字；七进制用0~6七个数字。
例如：3 721=3×103+7×102+2×101+1×100
其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式，如：
110011（2）=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20 7342（8）=7×83+3×82+4×81+2×80 三、典例分析
题型一 k进制数 → 十进制数
例1 将下列各数化为十进制数。
（1）110 011（2） （2）106（8） （3）43（6） 解：（1）110 011（2）=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20 =51 （2）106（8）=1×82+0×81+6×80=70 （3）43（6）=4×61+3×60=27
题型二 十进制数 → k进制数
例2 （1） 把十进制数89化为二进制数。
解：把右式各步所得的余数从下到上排列，得到89=1011001 (2) （2）把十进制数53化为八进制数。（资料例4） 53 = 65 (8)
【方法小结】把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法。
注意：(1)必须除到所得的商是0为止；(2)各步所得的余数必须从下到上排列；(3)切记在所求数的右下角标明基数。
题型三 非十进制数 → 非十进制数
例3 把四进制数11 211(4)化为六进制数。 11211(4)=1353(6)
【方法小结】把一个非十进制数转化为另一种非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后再利用除k取余法，把十进制数转化为k进制数．
练习 （课本P48）第3题
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