发布时间 : 星期一 文章(五年高考真题)2016届高考数学复习 第九章 第四节 双曲线 理(全国通用)更新完毕开始阅读6ffea594b6360b4c2e3f5727a5e9856a561226c7
9．(2013·四川，6)抛物线y＝4x的焦点到双曲线x－＝1的渐近线的距离是( )
31A. 2
B.3 2
C．1
D.3
22
y2
解析 由题意可得，抛物线的焦点为(1，0)， 双曲线的渐近线方程为y＝±3x，即±3x－y＝0，
|±3－0|3
由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d＝＝.
22答案 B
πxyy10．(2013·湖北，5)已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C：－2222
4cosθsinθsinθ
2
2
2
x2
sinθtanθ
2
2
＝1的( )
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等
D．离心率相等
解析 对于双曲线C1：
x2
cosθ
2
－
y2
sinθ
2
＝1，a1＝cosθ，b1＝sinθ，c1＝1；
2
2
2
2
2
22222
对于双曲线C2：2－2＝1，a2＝sinθ，b2＝sinθtanθ， 2sinθsinθtanθsinθsinθ
c＝sinθ＋sinθtanθ＝sinθ(1＋tanθ)＝sinθ(1＋2)＝2 cosθcosθ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y2x2
＝tanθ.
π
∵只有当θ＝kπ＋(k∈Z)时，
4
22222
a21＝a2或b1＝b2或c1＝c2，
2
π
而0<θ<，∴排除A，B，C.
4
1tanθ12
设双曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，则e＝2，e2＝＝. 22
cosθsinθcosθ
21
2
故e1＝e2，即两双曲线的离心率相等． 答案 D
11．(2015·浙江，9)双曲线－y＝1的焦距是______，渐近线方程是______．
2解析 由双曲线方程得a＝2，b＝1，∴c＝3，∴焦距为23，渐近线方程为y＝±
2
2
2
x2
2
22
x.
答案 23 y＝±2x 2
x22
12．(2015·北京，10)已知双曲线2－y＝1(a＞0)的一条渐近线为3x＋y＝0，则a＝
a________．
解析 双曲线渐近线方程为y＝±x， ∴＝3，又b＝1，∴a＝答案
3 3
baba3. 3
x2y2
13．(2015·湖南，13)设F是双曲线C：2－2＝1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PFab的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．
x2y2c2
解析 不妨设F(c，0)，则由条件知P(－c，±2b)，代入2－2＝1得2＝5，∴e＝5.
aba答案
5
2
2
14．(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x－y＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________． 解析 双曲线x－y＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝
|1－0|1＋1
22
2
＝22
.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得2
c≤
22，故c的最大值为. 22
2
2
答案
x2y2
15．(2014·浙江，16)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐
ab近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________． 解析 联立直线方程与双曲线渐近线方程y＝±x可解得交点为?
ba?am，bm?，
??3b－a3b－a?
?－am，bm?，而k＝1，由|PA|＝|PB|，可得AB的中点与点P连线的斜率为－3，即?3b＋a3b＋a?AB3??
bmbm＋
3b－a3b＋a2
－0
＝－3， －m5. 2
am－am＋3b－a3b＋a2
2
化简得4b＝a，所以e＝
2
答案
5 2
x2y2
16．(2012·江苏，8)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－2＝1的离心率为5，则
mm＋4m的值为________．
x2y2
解析 由双曲线标准方程－2＝1知
mm＋4a2＝m>0，b2＝m2＋4，
∴c＝a＋b＝m＋m＋4，
2
2
2
2
c2
由e＝5，得2＝5，
am＋m2＋4
∴m>0且＝5，
m∴m＝2. 答案 2
x22
17．(2014·江西，20)如图，已知双曲线C：2－y＝1(a>0)的右焦
a点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)． (1)求双曲线C的方程；
(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：3
＝相交于点N. 2
|MF|
证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．
|NF|(1)解 设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝a＋1， 1
直线OB的方程为y＝－x，
2
x0x－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线xa2
a1
直线BF的方程为y＝(x－c)，
a??解得B?，－?.
2a??2
1
又直线OA的方程为y＝x，则
ccac?c?－?－?ac?2a?3??A?c，?，kAB＝＝.
ca?a?
c－
2
3?1?x222
又因为AB⊥OB，所以·?－?＝－1，解得a＝3，故双曲线C的方程为－y＝1.
a?a?3(2)证明 由(1)知a＝3，则直线l的方程为x0x3
－y0y＝1(y0≠0)，即y＝
x0x－3
. 3y0
?2x0－3?；
因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M?2，
3y0????3x0－3?3?. 直线l与直线x＝的交点为N?32
?，?2
3y0??2
|MF|
则2＝|NF|
2
（2x0－3）
2
（3y0）
2
?3x0－3???1?2?
2
2
＋24（3y0）
（2x0－3）＝2 9y092
＋（x0－2）444（2x0－3）＝·22， 33y0＋3（x0－2）
因为P(x0，y0)是C上一点，则－y0＝1，代入上式得
3|MF|4（2x0－3）
2＝·22 |NF|3x0－3＋3（x0－2）4（2x0－3）4＝·2＝， 34x0－12x0＋93|MF|223
所求定值为＝＝. |NF|33
2
2
2
2
x20
2
x2y2
18．(2013·大纲全国，21)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，
abF2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为6.
(1)求a，b；
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
ca2＋b2
(1)解 由题设知＝3，即2＝9，
aa故b＝8a.
所以C的方程为8x－y＝8a. 将y＝2代入上式， 求得x＝±
2
2
2
2
2
a2＋. 12