发布时间 : 星期三 文章2014届高考数学一轮复习名师首选：第9章52《直线与圆锥曲线位置关系》更新完毕开始阅读7060ac2559eef8c75fbfb338
学案52 直线与圆锥曲线位置关系
导学目标： 1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想．
自主梳理
1．直线与椭圆的位置关系的判定方法
(1)将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ>0，则直线与椭圆________；若Δ＝0，则直线与椭圆________；若Δ<0，则直线与椭圆________．
(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法
2
将直线方程与双曲线方程联立消去y(或x)，得到一个一元方程ax＋bx＋c＝0.
①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线________；当Δ＝0时，直线与双曲线________；当Δ<0时，直线与双曲线________．
②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有________交点． (3)直线与抛物线位置关系的判定方法
2
将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax＋bx＋c＝0. ①当a≠0，用Δ判定，方法同上．
②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴________，只有________交点． 2．已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程
x2y2
(1)AB是椭圆2＋2＝1 (a>b>0)的一条弦，M(x0，y0)是AB的中点，则kAB＝______，kAB2kOMab＝________.点差法求弦的斜率的步骤是：
x2y2x2y21122
①将端点坐标代入方程：2＋2＝1，2＋2＝1.
abab2222x1x2y1y2
②两等式对应相减：2－2＋2－2＝0.
aabby1－y2b2x1＋x2b2x0
③分解因式整理：kAB＝＝－2＝－2. x1－x2ay1＋y2ay0
2
xy2
(2)运用类比的手法可以推出：已知AB是双曲线2－2＝1的弦，中点M(x0，y0)，则kABab2
＝________________.已知抛物线y＝2px (p>0)的弦AB的中点M(x0，y0)，则kAB＝________.
3．弦长公式
直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线C：F(x，y)＝0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
2
则AB＝1＋k|x1－x2|
22＝1＋kx1＋x2－4x1x2
1
或AB＝ 1＋2|y1－y2|
k＝ 1
1＋22ky1＋y22
－4y1y2.
[来源:Z.xx.k.Com]
自我检测
2
1．抛物线y＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是________．
22
2．如果直线y＝kx－1与双曲线x－y＝1没有公共点，则k的取值范围是________________．
3．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，
123
那么点M的纵坐标是________．
1?→→?2
4．过点?0，－?的直线l与抛物线y＝－x交于A、B两点，O为坐标原点，则OA2OB的
2??
x2y2
值为________．
2
5．经过抛物线y＝4x焦点的直线l交抛物线于A、B两点，且AB＝8，则直线l的倾斜角的大小为________.
探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系
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例1 k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x＋3y＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？
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变式迁移1 已知抛物线C的方程为x＝y，过A(0，－1)，B(t,3)两点的直线与抛物
2
线C没有公共点，则实数t的取值范围是________________．
探究点二 圆锥曲线中的弦长问题
例2 如图所示，直线y＝kx＋b与椭圆＋y＝1交于A、B两点，记△AOB的面积为S.
4
x2
2
[来源:学#科#网](1)求在k＝0,0 变式迁移2 已知椭圆的两焦点为F1(－3，0)，F2(3，0)，离心率e＝3. 2 (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线l：y＝x＋m，若l与椭圆相交于P，Q两点，且PQ等于椭圆的短轴长，求m的值． 探究点三 求参数的范围问题 例3 直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A、B两点，直线l过点P(－2,0)和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围． [来源:学科网]变式迁移3 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆＋2 y2＝1有两个不同的交点P和Q. (1)求k的取值范围； → (2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OP→→ ＋OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由． 函数思想 x2 x2y2x2y2 例 (14分)已知椭圆C的方程为2＋2＝1 (a>b>0)，双曲线2－2＝1的两条渐近线为 ababl1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B. (1)当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率； (2)求的最大值． 【答题模板】 解 (1)双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线夹角为60°，又<1，∴∠POx＝30°， FAAPbabab3222 ，∴a＝3b.又a＋b＝2， a322 ∴3b＋b＝4，[2分] x2222 ∴b＝1，a＝3，∴椭圆C的方程为＋y＝1， ∴＝tan 30°＝3 a2－b26 ∴离心率e＝＝.[5分] a3ab(2)由已知，l：y＝(x－c)与y＝x联立， baa2ab??解方程组得P?，?.[7分] ?cc? FA→→ 设＝λ，则FA＝λAP，∵F(c,0)，设A(x0，y0)， APa2ab??则(x0－c，y0)＝λ?－x0，－y0?， c?c? 2aaba2ab?c＋λ2λ2?ccc＋λ2λ2cc?.[10分] ∴x0＝，y0＝.即A? 1＋λ? 22224222 将A点坐标代入椭圆方程，得(c＋λa)＋λa＝(1＋λ)ac， 422222 等式两边同除以a，(e＋λ)＋λ＝e(1＋λ)，e∈(0,1)，[12分] 2?e4－e22?2 ∴λ＝2＝－?2－e＋2＋3 2－e?e－2??≤－2 2 1＋λ1＋λ ? ?1＋λ ，?2－e2 2 2 22 2＋3＝3－22＝(2－1)， 2－e∴当2－e＝2，即e＝2－2时，λ有最大值2－1，即的最大值为2－1.[14分] 【突破思维障碍】 最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容，一是在准确把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决；二是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义解决． 【易错点剖析】 FAe4－e22 不能把转化成向量问题，使得运算繁琐造成错误，由λ＝2不会求最值或忽视 APe－2 e2－2<0这个隐含条件． 1．直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一，也是高考的热点，这类问题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查，而且对综合能力的考查显见其中．因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力． 2．从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参 2 数范围问题．基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如ax＋bx＋c＝0的方 －bc程，由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝.然后再把要研究的问题转化为用x1＋x2和x1x2去表 FAAPaa