发布时间 : 星期一 文章【精品】浙江专用2018年高考数学总复习教师用书:第5章 第1讲平面向量的概念及线性运算含解析更新完毕开始阅读70ab258278563c1ec5da50e2524de518964bd3c8
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c. 答案 ①
规律方法 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.
(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.
aa(4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量.
|a||a|【训练1】 下列命题中,正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量,向量就是有向线段;
②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反; ③两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.
解析 ①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是向量;
②不正确,若a与b中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反;
③正确,向量既有大小,又有方向,不能比较大小;向量的模均为实数,可以比较大小. 答案 ③
考点二 平面向量的线性运算
【例2】 (1)(2017·潍坊模拟)在△ABC中,P,Q分别是AB,BC的三等分点,11
且AP=AB,BQ=BC.若→AB=a,→AC=b,则→PQ=( )
3311
A.a+b 3311
C.a-b 33
11
B.-a+b
3311D.-a-b
33
→+
(2)(2015·北京卷)在△ABC中,点M,N满足→AM=2→MC,→BN=→NC.若→MN=xAB→,则x=________;y=________. yAC 5
→→→2→1→2→解析 (1)PQ=PB+BQ=AB+BC=AB+
3331→→1111
(AC-AB)=→AB+→AC=a+b,故选A. 33333
111111→→(2)由题中条件得,MN=→MC+→CN=→AC+→CB=→AC+(→AB-→AC)=→AB-→AC=xAB323226→,所以x=1,y=-1.
+yAC2611
答案 (1)A (2) - 26
规律方法 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果. 【训练2】 (1)如图,正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个靠近B点的三等分点,那么→EF等于( ) 11
A.→AB-→AD 2311C.→AB+→DA 32
11
B.→AB+→AD 4212D.→AB-→AD 23
(2)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若→AO=λ→AB+μ→BC,则λ+μ等于( ) A.1
1
B. 2
1 C. 3
2 D. 3
解析 (1)在△CEF中,有→EF=→EC+→CF. 1→→
因为点E为DC的中点,所以EC=DC.
2因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点, 2
所以→CF=→CB.
3
1212
所以→EF=→DC+→CB=→AB+→DA
2323
6
1→2→=AB-AD,故选D. 231(2)∵→AD=→AB+→BD=→AB+→BC,
3111
∴2→AO=→AB+→BC,即→AO=→AB+→BC.
326112
故λ+μ=+=.
263答案 (1)D (2)D
考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a与b不共线.
(1)若→AB=a+b,→BC=2a+8b,→CD=3(a-b).求证:A,B,D三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线. (1)证明 ∵→AB=a+b,→BC=2a+8b,→CD=3(a-b).
∴→BD=→BC+→CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5→AB. ∴→AB,→BD共线,又它们有公共点B, ∴A,B,D三点共线.
(2)解 ∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ, 使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb, ∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a,b是不共线的两个非零向量,
∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.
规律方法 (1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. (2)向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立. 【训练3】 (1)已知向量→AB=a+3b,→BC=5a+3b,→CD=-3a+3b,则( ) A.A,B,C三点共线 C.A,C,D三点共线
B.A,B,D三点共线 D.B,C,D三点共线
(2)已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式x2→OA 7
→→
+xOB+BC=0成立的实数x的取值集合为( ) A.{0}
B.?
C.{-1}
D.{0,-1}
解析 (1)∵→BD=→BC+→CD=2a+6b=2(a+3b)=2→AB, ∴→BD、→AB共线,又有公共点B, ∴A,B,D三点共线.故选B.
→+→(2)因为→BC=→OC-→OB,所以x2→OA+xOBOC-→OB=0,即→OC=-x2→OA-(x-1)→OB,因为A,B,C三点共线,
所以-x-(x-1)=1,即x+x=0,解得x=0或x=-1. 答案 (1)B (2)D
2
2
[思想方法]
1.向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量”;平行四边形法则要素是“起点重合”.
2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
3.对于三点共线有以下结论:对于平面上的任一点O,→OA,→OB不共线,满足→OP→+yOB→(x,y∈R),则P,A,B共线?x+y=1. =xOA[易错防范]
1.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误.
基础巩固题组 (建议用时:30分钟)
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