发布时间 : 星期二 文章高中数学（人教版）选修2-3单元质量检测：2-3.2离散型随机变量的方差更新完毕开始阅读70e5d3d0866fb84ae55c8d52
2-3.2离散型随机变量的方差
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分) 1．已知X的分布列为
X P －1 1 20 1 31 1 61231则①E(X)＝－，②D(X)＝，③P(X＝0)＝，其中正确的个数为( )
3273A．0 B．1 C．2 D．3
1111
解析： E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，
2363故①正确；
1111115
－1＋?2×＋?0＋?2×＋?1＋?2×＝，故②不正确； D(X)＝?3?2?3?3?3?69?1
③P(X＝0)＝显然正确．
3答案： C
2．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于( )
A．0.2 C．0.196
解析： ξ服从二项分布，ξ～B(10,0.02)， ∴Dξ＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196. 答案： C
3．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X
甲
B．0.8 D．0.804
)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计( ) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较 解析： ∵D(X甲)＞D(X乙) ∴乙种水稻比甲种水稻整齐． 答案： B
1
214
4．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，3332
D(X)＝，则x1＋x2的值为( )
9
A．3 7C. 3
解析： 由题意，得
5B. 311D. 3
?x×3＋x×3＝3，??4?2?4?12??x－3?×3＋?x－3?×3＝9，1
2
1
2
2
2
214
2x＋x＝4，??12即?? 4?2?4?22
x－x－??2?13?＋?23?＝3，
?x＝3，解得?2
x＝?3，
12
5
??x1＝1，
或? ?x＝2.?2
?x1＝1，?
又∵x1＜x2，∴?∴x1＋x2＝3.
??x2＝2，
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知离散型随机变量X的分布列如表．若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.
X P 解析： 由题意知a＋b＋c＝
－1 a 0 b 1 c 2 1 12111，－a＋c＋＝0， 126
1
(－1)2×a＋12×c＋22×＝1，
1251
解得a＝，b＝.
124答案：
51 124
6．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列各项：
69
①E(X)＝，E(η)＝，
55
2
②E(X2)＝E(η)， ③E(η2)＝E(X)， 9
④D(X)＝D(η)＝.
25
其中正确的是________．(填上序号) 解析： X的分布列为：
X P 1336E(X)＝0×＋1×＋2×＝；
1051051339
E(X2)＝0×＋12×＋22×＝.
105105D(X)＝E(X2)－(E(X))2 96?29
＝－?＝. 5?5?25η的分布列为：
η P 3315E(η)＝1×＋2×＋3×＝；
10510933118
E(η2)＝12×＋22×＋32×＝，
105105189?29
D(η)＝E(η2)－(E(η))2＝－?＝.
5?5?25答案： ①②④
三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知η的分布列为：
η P (1)求方差及标准差； (2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．
12121
解析： (1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
35151515
12121
D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝
35151515384，
∴D?η?＝86.
3
0 1 101 3 52 3 101 3 102 3 53 1 100 1 310 2 520 1 1550 2 1560 1 15(2)∵Y＝2η－E(η)，
∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536.
8．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1－0.999104.
(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；
(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的均值不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费．(单位：元)
解析： 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p)．
(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A发生当且仅当ξ＝0，
P(A)＝1－P(A)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104. 又P(A)＝1－0.999104，故p＝0.001. (2)该险种总收入为10 000a元， 支出为10 000ξ＋50 000，
盈利为η＝10 000a－(10 000ξ＋50 000)，
盈利的均值为E(η)＝10 000a－10 000E(ξ)－50 000， 由ξ～B(104,103)知，E(ξ)＝104×103，
－
－
E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104 ＝104a－104×104×103－5×104.
－
E(η)≥0?104a－104×10－5×104≥0 ?a－10－5≥0?a≥15.
故每位投保人应交纳的最低保险费为15元． 尖子生题库☆☆☆
9．(10分)有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元 获得相应职位的概率P1
乙单位不同职位月工资X2/元 获得相应职位的概率P2 1 000 0.4 1 400 0.3 1 800 0.2 2 200 0.1 1 200 0.4 1 400 0.3 1 600 0.2 1 800 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解析： 根据月工资的分布列，利用计算器可算得
4
E(X1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1 ＝1 400，
D(X1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；
E(X2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1 ＝1 400；
D(X2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋ (1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000. 因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)，
所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.
5