发布时间 : 星期日 文章三年高考(2017-2019)文数真题分项版解析 - 专题18 坐标系与参数方程（解析版）更新完毕开始阅读70f388813d1ec5da50e2524de518964bce84d280
专题18 坐标系与参数方程
?1?t2x?，?2?1?t（t为参数）．以
1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为??y?4t?1?t2?坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2?cos??3?sin??11?0．
（1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值．
y2【答案】（1）x??1(x??1)；l的直角坐标方程为2x?3y?11?0；（2）7．
4221?t24t2?y??1?t?2?1，且x?????【解析】（1）因为?1???1，所以C的直角坐标方程为22?21?t2?2??1?t??1?t?22y2x??1(x??1)．
42l的直角坐标方程为2x?3y?11?0．
（2）由（1）可设C的参数方程为??x?cos?,（?为参数，?π???π）．
?y?2sin?π??4cos?????11|2cos??23sin??11|3???C上的点到l的距离为．
77当???π?2π?时，4cos?????11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7．
3?3?【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．
2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O为极点，点M(?0,?0)(?0?0)在曲线C:??4sin?上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P．
（1）当?0=?时，求?0及l的极坐标方程； 3（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）?0?23，l的极坐标方程为?cos?????????2； 3?（2）??4cos?,???,?．
42【解析】（1）因为M??0,?0?在C上，当?0?由已知得|OP|?|OA|cos????????时，?0?4sin?23． 33??2． 3??????|OP|?2， 3?设Q(?,?)为l上除P的任意一点．在Rt△OPQ中，?cos???经检验，点P(2,)在曲线?cos????3??????2上． 3?所以，l的极坐标方程为?cos?????????2． 3?（2）设P(?,?)，在Rt△OAP中，|OP|?|OA|cos??4cos?, 即 ??4cos?． 因为P在线段OM上，且AP?OM，故?的取值范围是?,?．
42所以，P点轨迹的极坐标方程为??4cos?,???,?．
42【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(2,)，C(2,?????????????4??)，D(2,?)，4弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)，(1,?)，曲线M1是弧AB，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD．
（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|??23，求P的极坐标．
【答案】（1）M1的极坐标方程为??2cos??0?????π??，M2的极坐标方程为4???2sin????????π?43π??3π????2cos????πM，的极坐标方程为3???．
4?4??（2）?3,π??π??2π??5π?3,3,3,或或或???????．
6??3??3??6?【解析】（1）由题设可得，弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为??2cos?，??2sin?，
???2cos?．
所以M1的极坐标方程为??2cos??0?????π?3π??πM??2sin????，的极坐标方程为2???，M3
4?4??4的极坐标方程为???2cos???3π????π?． ?4?（2）设P(?,?)，由题设及（1）知
ππ
，则2cos??3，解得??； 46
π3ππ2π若???，则2sin??3，解得??或??； 44333π5π若． ???π，则?2cos??3，解得??46若0???综上，P的极坐标为?3,??π??π??2π??5π?3,3,3,或或或???????．
6??3??3??6?【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题． 4．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点A?3,???????,B2,???，直线l的方程为4??2??sin?????3．
4?（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．
????
【答案】（1）5；（2）2．
【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3，
??），B（2，）， 42???)?5． 24由余弦定理，得AB=32?(2)2?2?3?2?cos(（2）因为直线l的方程为?sin(??)?3，
?4?3?则直线l过点(32,)，倾斜角为．
24?3???)?2． 又B(2,)，所以点B到直线l的距离为(32?2)?sin(242【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．
5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?k|x|?2．以坐标原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为?2?2?cos??3?0．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
22【答案】（1）C2的直角坐标方程为(x?1)?y?4．；（2）C1的方程为y??4|x|?2． 322【解析】（1）由x??cos?，y??sin?得C2的直角坐标方程为(x?1)?y?4．
（2）由（1）知C2是圆心为A(?1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为
l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有
两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点． 当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k??点．
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以|?k?2|?2，故k??4或k?0．
3k2?14时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共3|k?2|?2，故k?0或k?4．
3k2?1