发布时间 : 星期二 文章第三章§5.5.3对数函数的图像和性质更新完毕开始阅读714a4a20e53a580216fcfefc
5．3 对数函数的图像和性质
1．问题导航
(1)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的增减性与底数a有什么关系？ (2)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像会在y轴的左侧吗？ (3)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像一定过哪一个点？
(4)当x＞0且x→0时，对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像与y轴有什么关系？ 2．例题导读
(1)P94例4.通过本例学习，掌握复合函数y＝logaf(x)定义域的求法． (2)P94例5.通过本例学习，学会利用对数函数的单调性比较大小．
(3)P94例6.通过本例学习，理解互为反函数y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像之间的关系．
试一试：教材P96练习T2，T3你会吗？ 对数函数的图像和性质
研究对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像和性质，底数要分为a＞1和0＜a＜1两种情况，如下表： 函数 y＝logax(a＞1) y＝logax(0＜a＜1)
图像 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过点(1，0)，即x＝1时，y＝0 x＞1时，y＜0；0＜x＜1时，yx＞1时，y＞0；0＜x＜1时，y＜0 ＞0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)具有奇偶性．( ) (2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)，当a>1时，y>0.( ) (3)函数y＝loga|x|是偶函数．( )
(4)对数函数y＝log2x比y＝log3x增加的快．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 2．函数y＝ln(x－2)的定义域是( ) A．(－∞，＋∞) B．(－∞，2) C．(0，2) D．(2，＋∞)
解析：选D.由题意可得：x－2＞0，即x＞2.
3．已知函数y＝f(x)的图像与y＝ln x的图像关于直线y＝x对称，则f(2)＝________．
解析：由题意可知y＝f(x)与y＝ln x互为反函数，故f(x)＝ex，可得f(2)＝e2. 答案：e2
4．函数y＝log(a2－1)x在(0，＋∞)内是减函数，则a的取值范围是________． 解析：由题意可得0＜a2－1＜1，解得a∈(－2，－1)∪(1，2)． 答案：(－2，－1)∪(1，2)
底数a的取值对对数函数y＝logax图像的影响
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图像向右越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图像向右越靠近x轴．
(2)左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
与对数函数有关的定义域问题
(1)函数y＝－1＋lg（x＋2）的定义域为( ) A．(0，8] B．(2，8] C．(－2，8] D．[8，＋∞) (2)函数f(x)＝x＋1＋ln(4－x)的定义域为( ) A．[－1，4) B．(－1，＋∞) C．(－1，4) D．(4，＋∞) (链接教材P94例4)
[解析] (1)由－1＋lg(x＋2)≥0，即lg(x＋2)≥1，得x＋2≥10，所以x≥8，故选D.
??x＋1≥0，
(2)使函数有意义，需?所以－1≤x<4，故选A.
?4－x>0，?
[答案] (1)D (2)A
方法归纳
求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.
1．(1)函数f(x)＝log0.5（4x－1）的定义域为( )
1?1，＋∞? －∞，? A.?B.2???2?11??1，＋∞? ， C.?D.?42??4?
x－3
(2)函数f(x)＝的定义域是( )
log2（4－x）
A．(3，4) B．[3，4)
C．(3，4]
D．[3，4]
??4x－1＞0，11?
解析：(1)选C.由题意得?解得x∈??4，2?. ?log0.5（4x－1）≥0，?
?x－3≥0，
?
(2)选A.由题意得?4－x＞0，解得x∈(3，4)．
??log2（4－x）≠0.
对数函数的图像
作出函数y＝log2|x＋1|的图像，由图像指出函数的单调区间，并说明它的图像可
由y＝log2x的图像经过怎样变换而得到．
[解] 作出函数y＝log2x的图像，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图像的另一分支曲线，再将整个图像向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图像，如图所示：
由图可得函数y＝log2|x＋1|在区间(－∞，－1)上是减少的，在区间(－1，＋∞)上是增加的．
若把本例函数换为y＝|log2(x＋1)|＋2，试作出此函数的图像．
解：第一步：作y＝log2x的图像(图(甲))．
第二步：将y＝log2x的图像沿x轴向左平移1个单位，得y＝log2(x＋1)的图像(图(乙))． 第三步：将y＝log2(1＋x)在x轴下方的图像作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图像(图(丙))．
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图像沿y轴方向向上平移2个单位，便得到所求函数的图像(图(丁))．
方法归纳
一般地，函数y＝f(x＋a)＋b(a，b为实数)的图像，是由函数y＝f(x)的图像沿x轴向右(或向左)平移|a|个单位(此时为f(x＋a)的图像)，再沿y轴向上(或向下)平移|b|个单位而得．含有绝对值的图像是一种对称变换，一般地y＝f(|x－a|)的图像是关于直线x＝a对称的图形(可了解)．函数y＝|f(x)|的图像与y＝f(x)的图像，在x轴上方部分相同，把x轴下方部分去掉，同时作关于x轴的对称图形，即为y＝|f(x)|的图像．
1
2．(1)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图像大致为( )
ln（x＋1）－x
(2)已知函数C1：y＝logax，C2：y＝logbx，C3：y＝logcx，C4：y＝logdx在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，其中a，b，c，d为均不等于1的正数，则按从小到大的顺序为________．(用“＜”号连接)
(3)函数y＝loga(2x－3)＋________．
2
图像恒过定点P，P在幂函数f(x)的图像上，则f(9)＝2
1111－?＝<0，所以排除A.又f?＝<0，排除?2?11ln 2－1e
ln＋22ln2
解析：(1)排除法，因为f(1)＝C，D.故选B.
(2)在图中作一条直线y＝1.
??y＝1，由?得logcx＝1，x＝c. ??y＝logcx，
所以直线y＝1与曲线C3：y＝logcx的交点坐标为(c，1)．
同理可得直线y＝1与曲线C4，C1，C2的交点坐标分别为(d，1)，(a，1)，(b，1)． 由图像可知c 2α(3)可知定点P的坐标为(2，)，设f(x)＝x(α为常数)， 2 21α可得2＝，解得：α＝－， 2211 1－－故f(x)＝x2，故f(9)＝92＝. 3 1 答案：(1)B (2)c＜d＜a＜b (3) 3