发布时间 : 星期六 文章冯慈璋马西奎工程电磁场导论课后重点习题解答更新完毕开始阅读719ff42cb0717fd5360cdcea
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rsin???r2?r 电磁场习题解答 第 9 页
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rsin???Acos?Acos?(cos2??sin2?)?]sin?sin?
??0[?6Asin?cos??解：（1）、设内球中的电位函数为?1，介质的介电常数为?1，两球表面之
间的电位函数为?2，介质的介电常数为?2，则?1，?2所满足的微分方程分别为
?2?1???1?， ?2?2??2 ?1?2选球坐标系，则
??1?11?2??11?1?2?1 (r)?(sin?)???2222?r???1r?rrsin???rsin?????2?21?2??21?1?2?2 (r)?(sin?)???2222?r???2r?rrsin???rsin???由于电荷对称，所以?1和?2均与?、?无关，即?1和?2只是r的函数，所以
?11?2??11?2??2?2， (r)??(r)??r2?r?r?2?r?1r2?r定解条件为：
分界面条件： ?1r?a??2 电位参考点： ?2 附加条件：?1r?0； ?1r?a??1?r??2r?a??2?r
r?ar?b?0；
为有限值
（2）、设介电常数为?1的介质中的电位函数为?1，介电常数为?2的介质中
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的电位函数为?2，则?1、?2所满足的微分方程分别为
?2?1???1?， ?2?2??2 ?1?2选球坐标系，则
??11?2??11?1?2?1(r)?2(sin?)?2?0 22?r??r?rrsin???rsin?????21?2??21?1?2?2(r)?2(sin?)?2?0
?r??r2?rrsin???rsin???2由于外球壳为一个等电位面，内球壳也为一个等电位面，所以?1和?2均
与?、?无关，即?1和?2只是r的函数，所以
1?2??11?2??2(r)?0(r)?0 ， 22?r?rr?rr?r22 分界面条件： ?1?????2???
由分解面条件可知?1??2 。令 ?1??2??，则在两导体球壳之间电位满
足的微分方程为
1?2??(r)?0 2?rr?r 电位参考点： ?r?b?0；
边界条件：2?a2(?1Er??2Er)r?a?Q，即 2?a2(?1??2)(???)?Q ?rr?a（3）、设内外导体之间介质的介电常数为?，介质中的电位函数为?，则?所满足的微分方程分别为
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?2??0， 选球柱坐标系，则
1???1?2??2? (r)?2?2?0 2r?r?rr???z1—9—4、一个由两只同心导电球壳构成的电容器，内球半径为a，外球壳半径为b，外球壳很薄，其厚度可略去不计，两球壳上所带电荷分别是?Q和?Q，均匀分布在球面上。求这个同心球形电容器静电能量。
解：以球形电容器的心为心做一个半径为r的球面，并使其介于两导体球壳之间。则此球面上任意一点的电位移矢量为
? D?Q?er 4?r2??DQ?电场强度为 E??e 2r?4??r1??Q2而电场能量密度为 we?E?D?
232??2r4球形电容器中储存的静电场能量为
b2??Q22We??wedV????rsin?d?d?dr
Va0032??2r4b2??Q2????sin?d?d?dr a0032??2r2b1Q2Q2b10?(cos0?cos?)(2??0)?2dr?dr
ar8???ar232??2Q211Q2b?a?(?)=? 8??ab8??ab 电磁场习题解答 第 12 页