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第三章 水动力学基础
本章研究液体机械运动的基本规律及其在工程中的初步应用。根据物理学和理论力学中的质量守恒原律、牛顿运动定律及动量定理等，建立水动力学的基本方程，为以后各章的学习奠定理论基础。
液体的机械运动规律也适用于流速远小于音速（约340 m/s）的低速运动气体。因为当气体的运动速度不大于约50m/s时，其密度变化率不超过1%，这种情况下的气体也可认为是不可压缩流体，其运动规律与液体相同。
研究液体的运动规律，也就是要确定描述液体运动状态的物理量，如速度、加速度、压强、切应力等运动要素随空间与时间的变化规律以及相互关系。
由于实际液体存在粘性，使得水流运动分析十分复杂，所以工程上通常先以忽略粘性的理想液体为研究对象，然后进一步研究实际液体。在某些工程问题上，也可将实际液体近似地按理想液体估算。
§3-1 描述液体运动的两种方法
描述液体运动的方法有拉格朗日（J.L.Lagrange）法和欧拉（L.Euler）法两种。 1．拉格朗日法（Lagrangian View） 拉格朗日法是以液体运动质点为对象，研究这些质点在整个运动过程中的轨迹（称为迹线）以及运动要素(Kinematic Parameter)随时间的变化规律。每个质点运动状况的总和就构成了整个液体的运动。所以，这种方法与一般力学中研究质点与质点系运动的方法是一样的。
用拉格朗日法描述液体的运动时，运动坐标不是独立变量，设某质点在初始时刻t=t0时的空间坐标为a、b、c（称为起始坐标），则它在任意时刻t的运动坐标x、y、z可表示为确定这个质点的起始坐标与时间变量的函数，即
x?x(a,b,c,t)??y?y(a,b,c,t)? z?z(a,b,c,t)?? (3-1-1)
变量a，b，c，t统称为拉格朗日变量。显然，对于不同的质点，起始坐标a，b，c是不同的。根据式（3-1-1），将某质点运动坐标时间历程描绘出来就得到该质点的迹线(Trace)。
在直角坐标中，给定质点在x，y，z方向的流速分量ux，uy，uz可通过求相应的运动坐标对时间的一阶偏导数得到，即
ux?uyuz?x??t???y????t??z????t? (3-1-2)
给定质点在x，y，z方向的加速度分量ax，ay，az，可通过求相应的流速分量对时间的一阶偏导，或求相应的运动坐标对时间的二阶偏导得到，即
axayaz2?x????2?t?t?2??uy?y?????t?t?2?uz?z????2?t?t???ux (3-1-3)
由于液体质点的运动轨迹非常复杂，用拉格朗日法分析流动，在数学上会遇到很多的困难，同时实用上一般也不需要知道给定质点的运动规律，所以除少数情况外（如研究波浪运动），水力学通常不采用这种方法，而采用较简便的欧拉法。
2．欧拉法(Eulerian View) 欧拉法是把液体当作连续介质，以充满运动质点的空间——流场(Flow Field)为对象，研究各时刻流场中不同质点运动要素的分布与变化规律，而不直接追踪给定质点在某时刻的位置及其运动状况。
用欧拉法描述液体运动时，运动要素是空间坐标x，y，z与时间变量t的连续可微函数。变量x，y，z，t统称为欧拉变量。因此，各空间点的流速所组成的流速场可表示为
ux?ux(x,y,z,t)??uy?uy(x,y,z,t)??uz?uz(x,y,z,t)? (3-1-4)
各空间点的压强所组成的压强场可表示为
p?p(x,y,z,t)
(3-1-5)
加速度应是速度对时间的全导数。注意到式（3-1-4）中x，y，z是液体质点在t时刻的运动坐标，对同一质点来说它们不是独立变量，而是时间变量t的函数。根据复合函数求导规则，得
ax?dudtx??ux?t??ux?x?dxdt??ux?y?dydt??ux?z?dzdt
式中
dxdt?ux；
dydt?uy；
dzdt?uz
故
?ux?tax?dudtx??uxt?ux?ux?x?uy?ux?y?uz?ux?z
(3-1-6)
同理
ay?az?,?uy?tdudtdudt,y???uy?t?uz?t?ux?ux?uy?x?uz?x?uy?uy?uy?y?uz?x?uz?uy?uy?z?uz?zz上式右边第一项
?uz?t表示通过固定点的液体质点速度随时间的变化率，
称为当地加速度：等号右边后三项反映了在同一时刻因地点变更而形成的加速度，称为迁移加速度。所以，用欧拉法描述液体运动时，液体质点的加速度应是当地加速度与迁移加速度之和。例如，由水箱侧壁开口并接出一根收缩管（图3-1-1），水经该管流出。由于水箱中的水位逐渐下降，收缩管内同一点的流速随时间不断减小；另一方面，由于管段收缩，同一时刻收缩管内各点的流速又沿程增加（理由见§3-3）。前者引起的加速度就是当地加速度（在本例中为负值），后者引起的加速度就是迁移加速度（在本例中为正值）。
图3-1-1
§3-2 欧拉法的几个基本概念
1．恒定流与非恒定流(Steady Flow and Unsteady Flow) 液体运动可分为恒定流与非恒定流两类。若流场中所有空间点上一切运动要素都不随时间改变，这种流动称为恒定流。否则，就叫做非恒定流。例如，图3-1-1中水箱里的水位不恒定时，水流中各点的流速与压强等运动要素随时间而变化，这样的流动就是非恒定流。若设法使箱内水位保持恒定，则液体的运动就成为恒定流。
恒定流中一切运动要素只是坐标x，y，z的函数，而与时间t无关，因而恒定流中
?ux?t??uy?t??uz?t??p?t?0 (3-2-1)
恒定流中当地加速度等于零，但迁移加速度可以不等于零。
恒定流与非恒定流相比较，欧拉变量中少了一个时间变量t，因而问题要简
单得多。在实际工程中不少非恒定流问题的运动要素随时间非常缓慢地变化，或者是在一段时间内运动要素的平均值几乎不变，此时可近似地把这种流动当作恒定流处理。另外，有些非恒定流经改变坐标系后可变成恒定流。例如，船在静止的河水中等速直线行驶时，船两侧的水流对于岸上的人看来（即对于固结于岸上的坐标系来说）是非恒定流，但对于站在船上的人看来（即对于固结于船上的坐标系来讲）则是恒定流，它相当于船不动，而远处水流以与船相反的方向等速流过来。
2．一元流、二元流与三元流(One_,Two_ and Three_Dimensional Flow) 恒定流与非恒定流是根据欧拉变量中的时间变量对运动要素有无影响来分类的；若考察运动要素与坐标变量的关系，液体的流动可分为一元流、二元流与三元流。
若运动要素是三个空间坐标的函数，这种流动就称为三元流；若是二个坐标（不限于直角坐标）的函数，就叫做二元流；若是一个坐标（如沿流动方向的坐标）的函数，就叫做一元流。
液体一般在三元空间中流动。例如，水在断面形状与大小沿程变化的天然河道中的流动，水对船体的绕流等等，这类流动属于三元流。
若液体在平行平面间流动，而且在与这些平面垂直的方向上各点的流动状态相同，则称为平面流动。平面流动就属于二元流动。例如，水在非常宽阔的矩形渠道中流动，远离侧边的与xz平面平行的诸铅垂面上（图3-2-1中a-a，b-b，c-c断面）的流动就是直角坐标系中的二元流动。在这些平面上运动要素与直角坐标中的y无关，而只是x，z的函数。又如，实际液体在圆截面（轴对称）管道中的流动（图3-2-2），运动要素只是柱坐标中r，x的函数，而与θ角无关，这也是二元流动。其断面流速分布如图所示，由于液体的粘性及对管壁的附着作用，紧靠管壁的液体质点的流速等于零，而管道轴上的液体质点因受管壁的影响最小，故流速最大，中间是过渡状态。
图3-2-2