发布时间 : 星期四 文章第三章 - - 水动力学基础更新完毕开始阅读725dfa3a87c24028915fc3dd
ux????yuy?????x (3-15-7)
ψ称为不可压缩液体平面流动的流函数。实际上，无论是无旋势流还是有旋流动，无论是理想液体还是实际液体，在不可压缩液体的平面流动中必存在流函数。式(3-15-7)说明了，若能确定流函数ψ一个未知数，则也可求得ux与uy。
至于xOy平面上的平面势流，有
?uy?x??ux?y?0
将式(3-15-7)代入得
???x222????y22?0 (3-15-8)
或 式中
???0
?22?2??22??x?y
式(3-15-8)说明了不可压缩液体平面势流中流函数也是调和函数，它也满足拉普拉斯方程。不可压缩液体平面势流也可认为是在特定边界条件下求解流函数所满足的拉普拉斯方程。
若ψ(x,y)=常数，则d???uydx?uxdy?0 得到
dxux?dyux
图3-15-1
显然，这是平面流线方程。因此，等流函数线(ψ=常数)就是流线。
流函数还有另外一个物理意义，这就是：在不可压缩液体的平面流动中，任意两条流线的流函数之差等于这两条流线间所通过的液体流量。现证明如下：如图3-15-1所示，在流函数ψ1与ψ3的两条流线间有任一曲线AB(不一定垂直于流线)，在它上面任取一微元线段dl，假定垂直于流动平面的宽度等于1，则通过它的单宽流量
dq?uxdl?u?ndl?uxcos?n,x??uycos?n,y?dl?dy?dx????ux?uy????dl?uxdy?uydx?d?dldl??????
故
q??abdq??Ad?B??3??1
(3-15-9)
式中 n是微元线段dl的法向单位矢量； un是流速u在微元线段dl的法向分量。
这一积分与曲线AB的形状无关，仅决定于A、B两点的ψ值。由此得证。
3．流网(Flow Net) 不可压缩液体的平面势流中，势函数与流函数有一定关系，即等势线与等流函数处处正交，现在证明这个问题： 在等势线上
d?????xdx????ydy?0
在等流函数上
d?????xdx????ydy?0
由第一个式子再利用式(3-15-4)，得
??dydx??常数?-ux?x????uy?y
由第二个式子再利用式(3-15-7)，得
??dydx??常数?-ux?x???uy?y
从解析几何知道，上式说明了等势线与等流函数线应相互垂直。
等势线与流线构成的正交网格称为流网(图3-15-2)。在工程上，可利用绘制流网的方法，图解与计算势流流速场，再运用势流的伯诺里方程便可计算压强场。在第九章将具体介绍网法及其在渗流中的应用。
图3-15-2
例3-9 对于例3-1中的平面点源(汇)流动：
ux?Cxx2?y2uy?Cyx2?y2uz?0
(1)问是无旋流还是有旋流； (2)若是无旋流，求其流速势?； (3)求平面流动的流函数ψ； (4)求压强分布。 解 (1)因
?ux?y??(x2Cxy2?y)22,?uy?x??(x2Cyx2?y)22，
?uy?z?uz?x?0?0?uz?y?ux?z?0
?0故
?uy???y?x??uy?uz????? ?z?y??ux??uz???x?z???ux?所以是无旋流。
(2)对于点源(汇)流动，为方便起见采用极坐标系。此时，如图3-15-3所示，
图3-15-3 uθ=0
ur?u?ux?uy?22?Cx??x2?y2?????2?Cy???x2?y2?????2?x2C?y2?Cr
因
d??uxdx?uydy
故
???uxdx?uydy??u?dr??urdr??Crdr?Clnr?Clnx2?y2
上式中积分常数可任意给定，现取积分常数等于零。从该式可见，等势线是一簇以原点为心的同心圆(r=常数)。
(3)因dψ=-uydx+uxdy
故 ????uydx?ux?dy???xdy?ydxx2Cyx2?y2dx?xyxCx2?y2dy
?C??y2?C??y?d???x??y?1????x?2?Ctg?1?C?
上式中令θ=0时ψ=0，则积分常数等于零。从上式可见，流线是一簇通过原点的射线(θ=常数)，由此说明了等势线与流线互相正交。
(4)由式(3-14-3)，若可不计重力的影响，应
p2??u2g?C?
将u?Cr代入整理得
p?C????C???2?r?2
可设r→∞时u=0，p=p∞，则C′=p∞，于是
p?p????C???2?r?2
所以p沿r方向按抛物线规律分布，如图3-15-4所示。
图3-15-4
最后指出以上式中C的确定：由单位长度(z=1)的流量
Q?2?2??0ur?rd???0Crrd??C?02?d??2?C
得
C?Q2?
称为平面点源(汇)强度。