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§3-16 势流叠加原理
平面势流问题归结于在具体的边界条件下求解势函数或流函数所满足的拉普斯方程。由于拉普拉斯方程是线性的，所以几个势函数或流函数的线性叠加仍然满足拉普斯方程。这就是说，几个势流叠加后的流动仍然是势流。现在证明如下：
设有n个势函数?1，?2，?3，??满足拉普拉斯方程：
??1?02，?2?22?0，?2?32?0，??
将这些势函数相叠加：???1??2??3?22??，则有
?????1???2???3???0同样，几个平面势流的流函数相叠加仍然满足拉普拉斯方程，即
?????1???2222???3???02另外指出，几个势流叠加后的流速等于每个势流流速之矢量和。这是因为：将?对x取偏导得
???x???1?x1???2?x2???3?x3???
即
ux?ux?ux?ux???
同理，由?对y取偏导可得
uy?uy?uy?uy???123势流的叠加原理为我们提供了一种求解较复杂流动的方法，可以将几种最简单的已知势流叠加起来得到较复杂的势流。当然，叠加的结果还应满足所考察问题中的边界条件。因为合乎边界条件的解一般说来只有一个，所以问题的解是唯一的。均匀流(题3-4)，平面涡流(题3-5)，点源或点汇等等都是一些最简单的已知势流。将几个点源或点汇叠加起来可求解第九章所述井群的渗流问题。至于其它已知简单势流及其叠加可参见一般流体力学书籍，在此不再赘述。
例3-10 求均匀流与点源叠加后的流动。已知x方向流速为U的均匀流
???Ux ???Uy?置于原点强度为
Q2?之点源
QQ?22??lnr?lnx?y??2?2?????Q??Qtg?1y?2?2?x?
解 叠加后的流动为
Q???Ux?lnr?Ux??2?????Uy?Q??Uy??2??Q2?Q2?lntgx?12?y2yx
故
ux?uy????x???y?U?QQx2?x2?y2y??U?Qcos?2?r
?Qsin?2?r2?x2?y2Q
滞止点A为
???,r?2?U
通过滞止点的流线为
Ursin??Q2???C
显然，通过滞止点时常数 C?则 得 或
Q2UQ2
Q(???)?0
Ursin??r?y?QQ2?U2????
2?Usin?
??1y????tg? 2?U?x?Q(???)?当x→∞时，r→∞，y→
还可作出其它一些流线，如图3-16-1所示。通过滞止点的流线将流场分为两部分：由均匀流引起的这部分流量皆在这条流线之外流动，而由点源引起的那部分流量皆在这条流线之内流动。这样便可把通过滞止点的这一条流线视为固壁，并且仅考察其外部绕流，这就是所谓“二元半体绕流”。
图3-16-1
根据二元半体绕流表面的流速分布，利用伯诺里方程，可得到其表面的压强分布。
习 题
3-1 已知流速场
?ux?2t?2x?2y??uy?t?y?z??uz?t?x?z
求流场x=2，y=2，z=1之点在t=3时的加速度。
3-2 已知流速场
?u?xy2x?1??uy??y33??uz?xy?
(1)求点(1，2，3)之加速度。 (2)是几元流动?
(3)是恒定流还是非恒定流? (4)是均匀流还是非均匀流? 3-3 已知流速场
u?4x?2y?xyl?3x?y?zj
?3??3?(1)求(2，2，3)点之加速度。 (2)是几元流动?
(3)是恒定流还是非恒定流? (4)是均匀流还是非均匀流? 3-4 已知平面流动的流速分布为
?ux?a??ut?b
其中a,b为常数，求流线方程并画出若干条y＞0时的流线。
3-5 已知平面流动流速分布为
Cy?u??x?22x?y??
Cx?u?22?yx?y?其中C为常数。求流线方程并画出若干条流线。
3-6 如图所示的管路水流中，过水断面上各点流速按下列抛物线方程轴对称分布：
u?umax??1???2?r??????r?? ?0??式中水管半径r0为3cm，管轴上最大流速umax为0.15m/s。试求总流量Q与断面平均流速v。
题3-6图
3-7 有一过水断面为矩形的人工渠道，其宽度B等于1m(题3-7图)。测得断面1-1与
2-2处的水深h1为0.4m，h2=0.2m。若断面平均流速v2等于5m/s，试求通过此渠道的流量Q及断面1-1的平均流速v1。
题3-7图 题3-8图
3-8 一直径D为1m的盛水圆筒铅垂放置，现接出一根直径d为10cm的水平管子。已知某时刻水管中断面平均流速v2等于2m/s，求该时刻圆筒中液面下降的速度v1。
3-9 输水管道通过三通管形成分枝流(见图示)。管径d1，d2均为200mm，ds为100mm，若断面平均流速v1为3m/s，v2为2m/s，求vs。
题3-9图 题3-10图
3-10 试利用题3-10图证明不可压缩液体二元流动的连续性微分方程的极坐标形式为
?ur?r?urr?1?u??0 r??3-11 对于不可压缩液体，下面的流动是否满足连续性条件： (1)ux=2t+2x+2y，uy=t-y-z，uz=t+x-z； (2)ux=x2+xy-y2，uy=x2+y2，uz=0； (3)ux=3ln(xy)，uy=?32?a(4)ur=C?1?2?r?yx，uz=4；
??sin?，uz=0。 ??2??a?cos?，u??C?1??2??r??3-12 利用题3-12图及牛顿第二定律证明重力场中沿流线坐标S方向的欧拉运动微分方程为
?g?z?S?1?pdudt??S?s
题3-12图
3-13 利用皮托管原理测量输水管中的流量(见图示)。已知输水管直径d为200mm，测得水银差压计读数hp为60mm，若此时断面平均流速v=0.84uA，式中uA是皮托管前管轴上未受扰动水流之A点的流速。问输水管中的流量Q及断面平均流速?
题3-13图 题3-14图
3-14 一障碍物置于均匀水平水流中。若未受扰动的水流速度uA=10m/s，其相对压强pA为1个大气压，求障碍物滞止点B的相对压强。
3-15 用皮托管测定气流中某点的流速。将皮托管接向水差压计，读得其水面差h为0.1m，求未设置皮托管前该点的流速u。已知气体的密度ρ为1.25kg/m3，水的密度ρ′为1000kg/m3。假定不考虑毕托管的校正系数。
3-16 若两固定平行平板间液体的断面流速分布为