发布时间 : 星期五 文章事故树分析更新完毕开始阅读72af399432687e21af45b307e87101f69f31fbe5
图 1-2 未经化简的事故树
图示未经化简的事故树，运用布尔代数其结构函数表达式为： T=A1+A2=A1+B1B2B3 =X1X2+（X3+X4）（X3+X5）（X4+X5）
=X1X2+X3X3X4+X3X4X4+X3X4X5+X4X4X5+X4X5X5+X3X3X5+X3X5X5+X3X4X5 2.3.4 最小割集的求解与分析
在事故树中，一组基本事件能造成顶上事件发生，则该组基本事件的集合称为割集。能够引起顶上事件发生的最低限度的基本事件的集合称为最小割集，即如果割集中任一基本事件不发生，顶上事件就绝不发生。为有效地、针对性控制顶上事件的发生，最小割集在FTA中有着重要的作用。因此，最小割集的求解很关键。其求法包括：行列法；结构法；质数代入法；矩阵法；布尔代数化简法等等。其中，布尔代数化简法比较简单，但国际上普遍承认行列法。
1）行列法求解
行列法又称福塞尔法，是1972年福塞尔（Fussell）提出的。
这种方法的原理是从顶上事件开始，按逻辑门顺序用下面的输入事件代替上面的输出事件，逐层代替，直到所有基本事件都代完为止。在代替过程中，“或门”连接的输入事件纵向列出，“与门”连接的输入事件横向列出。这样会得到若干行基本事件的交集，再用布尔代数化简，就得到最小割集。
下面以图7.3-2所示的事故树为例，求最小割集。 X1X3 XB X1X3 1T→AB→ X 1 B → → → X2X3X1X4 X1X4
(1) 从顶上事件T开始，第一层逻辑门为“与门”，“与门”连接的两个事件横向排列代替T；
(2) A下面的逻辑门为“或门”，连接X1，C两个事件，应纵向排列，变成
X1B和CB两行；
(3) C下面的“与门”连接X2，X3两个事件，因此X2，X3写在同一行上代替
C，此时得到二个交集X1B，X2X3B。同理将事件B用下面的输入事件代入，得到四个交集，经化简得三个最小割集。这三个最小割集是：
K1{X1，X3}； K2{X2，X3}； K3{X1，X4}；
化简后的事故树，其结构如图1-4所示，它是图1-3的等效树。
由图可见用最小割集表示的事故树，共有两层逻辑门，第一层为或门，第二层为与门。由事故树的等效树可清楚看出事故发生的各种模式。
T
·
A B
K1 · · · C XXX1 · X1 X3
X 2 X 3 T ＋ K2 · K3 · X2 X3 X1 X4 图 1-3 事故树图 图 1-4上图事故树的等效树
2）布尔代数化简法求解
对比较简单的事故树可用此法求取，它主要利用布尔代数的几个运算定律。在一个系统中，不安全事件就是安全事件的补事件，不安全事件发生概率用P(s)表示，安全事件发生概率用P(s?)表示，则P(s)+ P(s?)=1
布尔代数法求最小割集的步聚是：
首先列出事故树的布尔表达式，即从事故树的第一层输入事件开始，“或门”的输入事件用逻辑加表示，“与门”的输入事件且逻辑积表示。再用第二层输入事件代替第一层，第三层输入事件代替第二层，直到事故树全体基本事件都代完为止，将布尔表达式整理后得到若干个交集的并集，每一个交集就是一个割集，再利用布尔代数运算定律化简，就可以求出最小割集。
所谓并集就是把两个集合A和B的元素合并在一起。如果合并后的元素构成的集合叫S，则S是A与B的并集，记为S=A∪B或S=A+B。
事故树中，或门的输出事件就是所有输入事件的并集。
若两个集合A和B有公共元素，则公共元素构成的集合P称为A与B的交集，记为P=A∩B。
事故树中，与门的输出事件就是其输入事件的交集。 以图7.3-2事故树为例，求最小割集：
T=AB =（X1+C）（X3+X4） =（X1+X2X3）（X3+X4） =X1X3+X2X3X3+X1X4+X2X3X4 =X1X3+X2X3+X1X4
事故树经布尔代数化简后得3个交集的并集，亦即此事故树有3个最小割集：
K1{X1，X3}， K2{X2，X3}， K3{X1，X4}。
3）最小割集的作用
最小割集表示系统的危险性，每个最小割集都是顶上事件发生的一种可能渠道，最小割集的数目越多，越危险。
其作用如下：
(1) 表示顶上事件发生的原因。事故发生必然是某个最小割集中几个事件同时存在的结果。求出事故树全部最小割集，就可掌握事故发生的各种可能，对掌握事故的规律，查明事故的原因提供帮助。
(2) 一个最小割集代表一种事故模式。根据最小割集，可以发现系统中最薄弱的环节，直观判断出哪种模式最危险，哪些次之，以及如何采取预防措施。
(3) 可以用最小割集判断基本事件的结构重要度，计算顶上事件概率。 (4) 由于一个基本事件发生的概率比两个基本事件同时发生的概率要大得多，比三个基本事件的同时发生概率更大，故最小割集含有的基本事件越少，发生顶上事件就越有可能，亦即故障模式危险性大。只有一个基本事件的割集最危险。
2.3.5 最小径集的求解与分析
1）最小径集的概念
与割集相反，在事故树中。有一组基本事件不发生，顶上事件就不会发生，这一组基本事件的集合叫径集。径集是表示系统不发生顶上事件而正常运行的模式。同样在径集中也存在相互包含和重复事件的情况，去掉这些事件的径集叫最小径集。亦即，凡是不能导致顶上事件发生的最低限度的基本事件的集合叫最小径集。在最小径集中，任意去掉一个事件也不成其为径集。事故树有一个最小径集，顶上事件不发生的可能性就有一种。最小径集越多，顶上事件不发生的途径就越多，系统也就越安全。
2）最小径集的求法
最小径集的求法是利用最小径集与最小割集的对偶性，首先画事故树的对偶树，即成功树。求成功树的最小割集，就是原事故树的最小径集。成功树的画法
是将事故树的“与门”全部换成“或门”、“或门”全部换成“与门”，并把全部事件的发生变成不发生，就是在所有事件上都加“′”，使之变成原事件补的形式。经过这样变换后得到的树形就是原事故树的成功树。（见图1-5）
T + T′ · X1 (a) X2 X1′ (b) X2′ 图 1-5 事故树变成功树示例
这种做法是根据布尔代数的德·摩根定律。如图7.3-4a所示事故树，其表达式为：
T=X1+X2
该式表示事件X1、X2任一个发生，顶上事件T就会发生。要使顶上事件不发生，X1、X2两个事件必须都不发生。那么，在上式两端取补，得到下式
T=(X1+X2)′= X1X2′
该式用图形表示就是图7.3-4b。b是a的成功树。由图可见，图中所有事件都变化，逻辑门也由“或门”转换成“与门”。
同理可知，画成功树的事故树的“与门”要变成“或门”，事件也都要变为原事件补的形式，如图1-6所示。
图1-6成功树变事故树示例
“条件与门”、“条件或门”、“限制门”的变换方式同上，变换时，把条件作为基
X1 (a) T · T′ + X2 X1′ (b) X2′