发布时间 : 星期二 文章电磁场与电磁波课后习题及答案二章习题解答更新完毕开始阅读72e483d026fff705cc170ac2
二章习题解答
2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为???4?Ud?43x?23，式中阴极板位于
009x?0，阳极板位于x?d，极间电压为U0。如果U0?40V、d?1cm、横截面S?10cm2，求：（1）x?0和x?d区域内的总电荷量Q；（2）x?d2和x?d区域内的总电荷量Q?。
d 解 （1） Q?（2） Q????43?23?d??(??Udx)Sdx??00??0494?0U0S??4.72?10?11C 3d414?11?43?23?(1?)?US??0.97?10C (??Udx)Sdx?0000?33d92??d2 2.2 一个体密度为??2.32?10?7Cm3的质子束，通过1000V的电压加速后形成等速的
d??d?? 质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。
解 质子的质量m?1.7?10?27kg、电量q?1.6?10?19C。由
12mv?qU 2得 v?2mqU?1.37?106 ms 故 J??v?0.318 Am2
I?J?(d2)2?10?6 A
2.3 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度?绕一个直径旋转，求球内的电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为?，则P点的线速度为
v???r?e??rsin?
球内的电荷体密度为
??故 J??v?e?Q 34?a3Q3Q??rsin??ersin? ?334?a34?a2.4 一个半径为a的导体球带总电荷量为Q，同样以匀角速度?绕一个直径旋转，求球表
面的面电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球面上任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为?，则P点的线速度为
v???r?e??asin?
球面的上电荷面密度为
??故 JS??v?e?的电场强度。
Q 4?a2QQ??asin??esin? ?24?a4?a2.5 两点电荷q1?8C位于z轴上z?4处，q2??4C位于y轴上y?4处，求(4,0,0)处
解 电荷q1在(4,0,0)处产生的电场为
E1?电荷q2在(4,0,0)处产生的电场为
r?r1?2ex4?ez4? 4??0r?r1?3??0(42)3q1q2r?r2?1ex4?ey4 E2???4??0r?r2?3??0(42)3故(4,0,0)处的电场为
E?E1?E2?ex?ey?ez2322??0
2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷?l，求垂直于圆平面的轴线上z?a处的电场强度
E(0,0,a)，设半圆环的半径也为a，如题2.6 图所示。
解 半圆环上的电荷元?ldl???lad??在轴线上z?a处的电场强度为
?lar?r?d??? 34??0(2a)?lez?(excos???eysin??)d??
a82??0在半圆环上对上式积分，得到轴线上z?a处的电场强度为
dE?E(0,0,a)??dE?
dE z P a r ?l(ez??ex2)?l???[e?(ecos??esin?)]d?? zxy?82??a82??0a??202.7 三根长度均为L，均匀带电荷密度分别为?l1、?l2和?l3地线电荷构成等边三角形。设?l1?2?l2?2?l3，计算三角形中心处的电场强度。
解 建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为
?2?? x r? ?l dl? y
题 2.6图
d?则
L3 tan30??L26y 故等边三角形中心处的电场强度为
E?E1?E2?E3?
?l13?l1 (cos30??cos150?)?eyE1 4??0d2??0L?l3 ?l2 3?l23?l1?? E2??(excos30?eysin30)??(ex3?ey)2??0L8??0LE2 E3 3?3?o ?l1 E3?(excos30??eysin30?)l3?(ex3?ey)l1 2??0L8??0LE1?ey题2.7图
x
ey3?l13?l13?l13?l1 ?(ex3?ey)?(ex3?ey)?ey2??0L8??0L8??0L4??0L2.8 －点电荷?q位于(?a,0,0)处，另－点电荷?2q位于(a,0,0)处，空间有没有电场强度E?0的点？
解 电荷?q在(x,y,z)处产生的电场为
E1?qex(x?a)?eyy?ezz222324??0[(x?a)?y?z]
电荷?2q在(x,y,z)处产生的电场为
2qex(x?a)?eyy?ezz 4??0[(x?a)2?y2?z2]32(x,y,z)处的电场则为E?E1?E2。令E?0，则有
ex(x?a)?eyy?ezz2[ex(x?a)?eyy?ezz] ?2223222232[(x?a)?y?z][(x?a)?y?z]E2??由上式两端对应分量相等，可得到
(x?a)[(x?a)2?y2?z2]32?2(x?a)[(x?a)2?y2?z2]32 ① y[(x?a)2?y2?z2]32?2y[(x?a)2?y2?z2]32 ② z[(x?a)2?y2?z2]32?2z[(x?a)2?y2?z2]32 ③
当y?0或z?0时， 将式②或式③代入式①，得a?0。所以，当y?0或z?0时无解； 当y?0且z?0时，由式①，有
(x?a)(x?a)3?2(x?a)(x?a)3
解得
x?(?3?22)a
但x??3a?22a不合题意，故仅在(?3a?22a,0,0)处电场强度E?0。
2．9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为?。证明：垂直于平面的z轴上z?z0处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为3z0的圆内的电荷产生的。
解 半径为r、电荷线密度为?l??dr的带电细圆环在z轴上z?z0处的电场强度为
z r?z0dr232
2?0(r2?z0)故整个导电带电面在z轴上z?z0处的电场强度为
dE?ezr?z0dr?z01E?ez???ez22322122?(r?z)2?0(r2?z0)0003z0??? b dI? a o ?ez0? 2?03z0而半径为3z0的圆内的电荷产生在z轴上z?z0处的电场强度为
QE??ez ?0r?z0dr?z01??ez2322122?0(r2?z0)2?0(r2?z0)?ez0?1?E 4?022.10 一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度?
题2.10图
绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度B。
解 球面上的电荷面密度为
??Q 4?a2当球体以均匀角速度?绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r?era点处的电流面密度为
JS??v??ω?r??ez??era?
?Qe???asin??e?sin?
4?a将球面划分为无数个宽度为dl?ad?的细圆环，则球面上任一个宽度为dl?ad?细圆环
?Q的电流为 dI?JSdl?sin?d? 4?细圆环的半径为b?asin?，圆环平面到球心的距离d?acos?，利用电流圆环的轴线上的磁
场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为
233??Qasin?d???Qsin?d? 00 dB?e?e?ezzz2(b2?d2)328?(a2sin2??a2cos2?)328?a3???Qsin??0?Q 0故整个球面电流在球心处产生的磁场为 B?ed??ez?0z8?a6?a?0b2dI2.11 两个半径为b、同轴的相同线圈，各有N匝，相互隔开距离为d，如题2.11图所示。
电流I以相同的方向流过这两个线圈。
（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度B?eB；
xx（2）证明：在中点处dBxdx等于零；
（3）求出b与d之间的关系，使中点处d2Bdx2也等于零。
x解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 B?ez得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 B?ex?0Ia22(a?z)
2232
?0NIb2(b?d4)2232（2）两线圈的电流在其轴线上x(0?x?d)处的磁感应强度为
??0NIb2? ?0NIb2B?ex?2?2322232?2(b?x)2[b?(d?x)]??22dB3?NIbx3?NIb(d?x) x00所以 ???dx2(b2?x2)522[b2?(d?x)2]52故在中点x?d2处，有
22dB3?NIbd23?NIbd2x00 ??2??0 2522252dx2[b?d4]2[b?d4]d b b I x
I 题2.11图
3?0NIb2? 2252dx2(b?x)2(b?x)15?0NIb2(d?x)23?0NIb2 ?227222522[b?(d?x)]2[b?(d?x)]225d41dBx令 ，有 ??0 ?0227222522x?d2[b?d4][b?d4]dx即 5d24?b2?d24 dBx15?0NIbx（3） ??22272222