发布时间 : 星期四 文章电磁场与电磁波课后习题及答案二章习题解答更新完毕开始阅读72e483d026fff705cc170ac2
故解得 d?b
2.12 一条扁平的直导体带，宽为2a，中心线与z轴重合，通过的电流为I。证明在第一象限内的磁感应强度为 Bx???0Ir2?0I，B?ln?y4?ar14?a细条带的电流dI? 式中
?、r1和r2如题2.12图所示。
y dB ?2解 将导体带划分为无数个宽度为dx?的细条带，每一
P(x,y)r2 ?
R r1 ?1 ?a I a x
Idx?。由安培环路定理，可得位于x?处2a的细条带的电流dI在点P(x,y)处的磁场为
?0Idx??dI?0Idx?dB?0??
4?a[(x?x?)2?y2]122?R4?aR则 dBx??dBsin????0Iydx?22 题 2.12图
4?a[(x?x?)?y]?0I(x?x?)dx?
dBy?dBcos??4?a[(x?x?)2?y2]
所以
??x?a??Ix0 Bx????arctan? ??22?4?a[(x?x?)?y]4?a?y??a?a?a?x???a?x???x?a??x?a?? ?I??0I??0?arctan??arctan??arctan?arctan???????????4?a?4?a??y??y???y??y???I?I?0(?2??1)??0? 4?a4?aaa?0I(x?x?)dx??0I?0I(x?a)2?y2?0Ilnr2 22By????ln[(x?x?)?y]?ln?22224?ar1?4?a[(x?x)?y]8?a8?a(x?a)?y?a?a2.13 如题2.13图所示，有一个电矩为p1的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为p2的电偶极子，位于矢径为r的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为
a?0Iydx?3p1p2(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2) 44??0r式中?1??r,p1?，?2??r,p2?，?是两个平面(r,p1)和(r,p2)间的夹角。并问两个偶极子在怎
Fr?样的相对取向下这个力值最大？
解 电偶极子p1在矢径为r的点上产生的电场为
z E1?13(p1?r)rp1[?3] 4??0r5rp2? 2 所以p1与p2之间的相互作用能为
13(p1?r)(p2?r)p1?p2We??p2?E1??[?3]
4??0r5r因为?1??r,p1?，?2??r,p2?，则
p1 ?1 r y
r?p1rcos?1 p1?p2?r?p2rcos?2
x 题 2.13图
又因为?是两个平面(r,p1)和(r,p2)间的夹角，所以有 (r?p1)?(r?p2)?r2p1p2sin?1sin?2cos? 另一方面，利用矢量恒等式可得
(r?p1)?(r?p2)?[(r?p1)?r]?p2?[r2p1?(r?p1)r]?p2?r2(p1?p2)?(r?p1)(r?p2)
因
此
1[(r?p1)?(r?p2)?(r?p1)(r?p2)]?p1p2sin?1sin?2cos??p1p2cos?1cos?2 2rp1p2W? (sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2) 于是得到e4??0r3(p1?p2)?故两偶极子之间的相互作用力为
p1p2d1sin?sin?cos??2cos?cos?()? ()1212q?4??0drr33p1p2(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2)
4??0r4 由上式可见，当?1??2?0时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。
Fr???We?r?cons?t2.14 两平行无限长直线电流I1和I2，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力Fm。 解 无限长直线电流I1产生的磁场为 B1?e?1?0I1 2?r直线电流I2每单位长度受到的安培力为 Fm12?I2ez?B1dz??e120??0I1I2 2?d?0I1I2 2?d式中e12是由电流I1指向电流I2的单位矢量。
同理可得，直线电流I1每单位长度受到的安培力为 Fm21??Fm12?e122.15 一根通电流I1的无限长直导线和一个通电流I2的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为d，如题2.15图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为
Fm??0I1I2(sec??1)
这里?是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。 解 无限长直线电流I1产生的磁场为
z I1B1?e??0I1 2?r a? 圆环上的电流元I2dl2受到的安培力为
?IIdFm?I2dl2?B1?dl2?ey012
2?x由题2.15图可知 dl2?(?exsin??ezcos?)ad?
x?d?acos?
2??0aI1I2F?(?ezsin??excos?)d?? 所以m?2?(d?acos?)0o ? I2dl2
d x
题2.15图
?0aI1I22?d2??0aI1I22?cos??e(??)??ex?0I1I2(sec??1) ?exd??x?222?aad?a2?0(d?acos?)2.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为
r?(p??)E?p?E。
解 如题2.16图所示，设p?qdl(dl??1)，则电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为
T?r2?qE(r2)?r1?qE(r1)?
dldldldl(r?)?qE(r?)?(r?)?qE(r?)?
2222dldlqdldlqr?[E(r?)?E(r?)]?dl?[E(r?)?E(r?)]
22222当dl??1时，有
dldlE(r?)?E(r)?(??)E(r)
22dldlE(r?)?E(r)?(??)E(r)
22故得到
z q r2 dl T?r?(qdl??)E(r)?qdl?E(r)? r?(p??)E?p?E
o x r r1 ?q y
题2.16 图