发布时间 : 星期日 文章北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三理更新完毕开始阅读731239d468dc5022aaea998fcc22bcd127ff421d
北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷
高三数学（理科）2017.1
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知集合A?{x|0?x?2}，B?{x|x2?1≤0}，那么AB?( ) （A）{x|0?x≤1}（B）{x|?1≤x?2}（C）{x|?1≤x?0}（D）{x|1≤x?2} 2．下列函数中，定义域为R的奇函数是( )
（A）y?x2?1（B）y?tanx（C）y?2x（D）y?x?sinx
y23．已知双曲线x?2?1(b?0)的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为( )
b2（A）x?3y?0（B）3x?y?0（C）x?3y?0（D）3x?y?0
?4．在极坐标系中，过点P(2,)且平行于极轴的直线的方程是( )
6（A）?sin??1（B）?sin??3（C）?cos??1（D）?cos??3 5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个 侧面的面积中最大的是( ) （A）3 （B）25 （C）6 （D）35
6．设a,b是非零向量，且a??b．则“|a|?|b|”是“(a?b)?(a?b)”的( )
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
?x≤3,?7．实数x,y满足?x?y≥0,若z?ax?y的最大值为3a?9，最小值为3a?3，则a
?x?y?6≥0.?的取值范围是( )（A）[?1,0]（B）[0,1]（C）[?1,1]（D）(??,?1][1,??)
8.在空间直角坐标系O?xyz中，正四面体P?ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是( )
（A）[3?1,3?1]（B）[1,3]（C）[3?1,2]（D）[1,3?1]
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二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数
1?i?____． 1?i10．设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn．若a1?1，则an?____； a3?4，S6?____．
11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为____．
12．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．若c?3，C??，3sinB?2sinA，则a?____．
?0≤x≤a,?x,13．设函数f(x)??其中a?0．
??log3x,x?a,① 若a?3，则f[f(9)]?____；
② 若函数y?f(x)?2有两个零点，则a的取值范围是____．
14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相
4．则第二名选手的得分是____． 5三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的
15．（本小题满分13分）
π已知函数f(x)?sin(2?x?)?2cos2?x?1(??0)的最小正周期为π．
67π（Ⅰ）求?的值；（Ⅱ）求f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值．
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16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC，?BAD?90?，PA?PD，
AB?PA，AD?2，AB?BC?1．
（Ⅰ）求证：平面PAD?平面ABCD；
（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE//平面PAB； （Ⅲ）若DC与平面PAB所成的角为30?，求四棱锥
P-ABCD的体积．
17．（本小题满分13分）
手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．
为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：
手机编号 1 2 3 4 5 6 7 A型待机时间（h） 120 125 122 124 124 123 123 B型待机时间（h） 118 123 127 120 124 其中，a，b是正整数，且a?b．
（Ⅰ）该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；
（Ⅱ）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X，求X 的分布列；
（Ⅲ）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值（结论不要求证明）．
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a b
18．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?lnx?a?sin(x?1)，其中a?R．
（Ⅰ）如果曲线y?f(x)在x?1处的切线的斜率是?1，求a的值； （Ⅱ）如果f(x)在区间(0,1)上为增函数，求a的取值范围．
19．（本小题满分14分）
x2y2已知直线l:x?t与椭圆C:??1相交于A，B两点，M是椭圆C上一点．
42（Ⅰ）当t?1时，求△MAB面积的最大值；
（Ⅱ）设直线MA和MB与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|?|OF| 为定值．
20．（本小题满分13分） 数字1,2,3,,n(n≥2)的任意一个排列记作(a1,a2,,an)，设Sn为所有这样的排列构成的集合．
1?i≤j,an)?Sn|任意整数i,j,≤n都有ai?i≤aj?j}；集合，
集合An?{(a1,a2,Bn?{(a1,a2,,an)?Sn|任意整数i,j,1≤i?j≤n，都有ai?i≤aj?j}．
（Ⅰ）用列举法表示集合A3，B3； （Ⅱ）求集合AnBn的元素个数；
（Ⅲ）记集合Bn的元素个数为bn．证明：数列{bn}是等比数列．
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