发布时间 : 星期六 文章2019学年高中数学第三章不等式3.2均值不等式同步导学案新人教B版必修55更新完毕开始阅读73d1de1685868762caaedd3383c4bb4cf6ecb716
3．2 均值不等式
【预习达标】
⒈正数a、b的算术平均数为 ；几何平均数为 ．
⒉均值不等式是 。其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？
⒊在均值不等式中a、b既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．
⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）
a?b （ ） 2ba1（3）＋ （ ） （4）x＋ (x>0) abx1（5）x＋ (x<0) （6）ab≤ （ ）
x（1）a+b ( ) （2）2
2
⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b或ab是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．
6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是 ；此时x的值为___________________；． ⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是 ；此时x的值为___________________； ⑶函数f(x) =x(2－2x)的最大值是 ；此时x的值为___________________； ⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是 ；此时x的值为___________________。 【典例解析】
例⒈已知a、b、c∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证
例⒉（1）已知x<
111 ++≥9． abc51，求函数y=4x－2+的最大值． 44x?5 - 1 -
（2）已知x>0，y>0，且
19?＝1，求x＋y的最小值。 xy2
2
（3）已知a、b为常数，求函数y=(x-a)+(x-b)的最小值。
【达标练习】 一．选择题：
⒈下列命题正确的是（ ）
Ａ．a+1>2a Ｂ．│x+
2
a?b14│≥2 Ｃ．≤2 Ｄ．sinx+最小值为4． xsinxabx2?21 ⒉以下各命题(1)x+2的最小值是1；（2）最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1
2x?1x?12
则（a+
11）(b+)的最小值是4，其中正确的个数是（ ） ab Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 ⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（ ）
Ａ．
ba22
＋≥2 Ｂ．a+b≥2ab abb2a2112Ｃ．＋≥a＋b Ｄ．??2+
ababa?b ⒋设a、b?R，若a+b=2，则
＋
11
?的最小值等于（ ） ab
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 ⒌已知a?b>0，下列不等式错误的是（ ） Ａ．a+b≥2ab Ｂ．a?2
2
a2?b22ab2 Ｃ．ab? Ｄ．ab??1 ?12a?ba?b二．填空题：
⒍若a、b为正数且a+b=4，则ab的最大值是________． ⒎已知x>1.5，则函数y＝2x+
4的最小值是_________．
2x?3a2b2? ⒏已知a、b为常数且0 三．解答题： xx4?92x?3x ⒐（1）设a=，b=62，c=且x≠0，试判断a、b、c的大小。 22x （2）设c a?c的大小。 2 ⒑在△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，一条直线分△ABC的面积为相等的两个部分，且夹在 AB与BC之间的线段最短，求此线段长。 参考答案： 【预习达标】 a?b；ab 2a?ba?b2．≥ab；算术平均数；几何平均数ab；圆中的相交弦定理的推论（略）。 221． 3．a，b∈R＋；a=b 4．⑴≥2ab（a,b∈R）⑵≥ab( a，b∈R＋)⑶≥2（a、b同号）或≤－2（a、b异号） ⑷≥2⑸≤－2⑹≤（5．定。 6．⑴1，1；⑵2，1；⑶【典例解析】 a?b2 ）（a,b∈R）； 211，；⑷－1，－1。 22111bacabc ++）（a+b+c）＝3＋（?）＋（?）＋（?） ≥abcabacbb 13＋2＋2＋2＝9当且仅当a=b=c=时取等号。 3例1．解析：原式＝（例⒉解析： - 3 - （1）∵x<＝ 511 ∴4x-5<0 ∴y=4x－2+=(4x-5)++3≤－2＋3＝1当且仅当4x-544x?54x?51时即4x-5＝－1，x＝1时等号成立，∴当x＝1时，取最大值是1 4x?5（2）解法一、原式＝（x＋y）（ y9x19y9x+10≥6＋10＝16当且仅当＝时等?）＝?xyxxyy号成立，又 19?＝1∴x=4,y=12时，取得最小值16。 xy解法二、由 19（x-1）(y-9)= 9为定值，又依题意可知x>1，y>9∴当且仅当x-1=y-9=3?＝1得 xy时即x=4，y=12时，取最小值16。 （3）解法一、转化为二次函数求最值问题（略） m2?n2m?n2解法二、∵≥（)∴y=(x-a)2+(x-b)2＝y=(x-a)2+(b-x)2≥ 22(x?a)?(b?x)2(a?b)2a?ba?b2[]＝，当且仅当x-a=b-x即x=时，等号成立。∴当x= 2222(a?b)2时取得最小值。 2【双基达标】 一、1．B解析：A中当a=1时不成立；C需要分a、b同号还是异号D中等号成立的条件是sinx=2。这是不可能的。实际上│x+ 11│＝│x│＋││≥2 xx11ba）(b+)＝（a+b）+2+ (?)abab2．C解析：（1）（2）正确，（3）不正确，实际上（a+≥1＋2＋2＝5，当且仅当a=b= 1时等号成立。 2a2b2b2a2 3．D解析：A、B显然正确；C中+a≥2b，+b≥2a，∴＋≥a＋b ；D中a=b=2 abab时就不成立。 4．B解析：原式＝（ 11a?b1ba＝（2＋?）≥2 ?） ab22ab2a?1?b?15．C解析：C、D必然有一个是错误的，实际上几何平均数ab≥调和平均数＝ 2ab a?b- 4 -