发布时间 : 星期四 文章历年来北大自主招生数学试题 - 图文更新完毕开始阅读7479b80054270722192e453610661ed9ad5155c2
2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）
试题 数学部分
1．（仅文科做）0???，求证：sin????tan?．
2．AB为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB最长为
3．求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．（25AB为y?1?x2上在y轴两侧的点，分）
4．向量OA与OB已知夹角，OA?1，OB?2，OP?(1?t)OA，OQ?tOB，
1（25分） 0≤t≤1．PQ在t0时取得最小值，问当0?t0?时，夹角的取值范围．
55?1．（25分） 2?2
5．（仅理科做）存不存在0?x?分）
?，使得sinx,cosx,tanx,cot（25x为等差数列．2 1
2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）
试题 数学部分解析
1．（仅文科做）0???，求证：sin????tan?．
【解析】 不妨设f(x)?x?sinx，则f(0?)，且当0?x?f?(x?)?1?2?时，2．于是cxo?sf(x)在0?x??上单调增．∴f(x)?f(0)?0．即有2x?sinx．
同理可证g(x)?tanx?x?0．
g(0)?0，当0?x??1?时，g?(x)?2?1?0．于是g(x)在0?x?上单调增。
cosx22∴在0?x??上有g(x)?g(0)?0。即tanx?x。 2注记：也可用三角函数线的方法求解．
2．AB为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB最长为【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在
的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
⑴当A,B中有一点位于P点时，知另一点位于R1或者R2时有最大值为PR1；当有一点位于O点时，
ABmax?OP?PR1；
PQ5?1．（25分） 2
R2OR1⑵当A,B均不在y轴上时，知A,B必在y轴的异侧方可能取到最大值（否则取A点关于y轴的对称点A?，有AB?A?B）． 不妨设A位于线段OR2上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB最大的B点必位于线段PQ上．
R2PBQ且当B从P向Q移动时，AB先减小后增大，于是
ABmax?AP或AQ；
AOR1对于线段PQ上任意一点B，都有BR2≥BA．于是ABmax?R2P?R2Q
2
由⑴，⑵知ABmax?R2P．不妨设为x． 下面研究正五边形对角线的长．
如右图．做?EFG的角平分线FH交EG于H． 易知?EFH??HFG??GFI??IGF??FGH?． 于是四边形HGIF为平行四边形．∴HG?1． 由角平分线定理知
EFFG?EHx11?5??．解得x?． 1x?1HG2x-1H1GE1Fx11I?53．求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．（25AB为y?1?x2上在y轴两侧的点，分）
【解析】 不妨设过A点的切线交x轴于点C，过B点的切线交x轴于点D，直
线AC与直线BD相交于点E．如图．设
B(x) 1,y1),A(x2,y2，
y且有y2?1?x22,y1?1?x12,x1?0?x2． 由于y???2x，
于是AC的方程为2x2x?2?y2?y；①
BD的方程为2x1x?2?y1?y． ②
y?y联立AC,BD的方程，解得E(12,1?x1x2)．
2(x2?x1)2?y2对于①，令y?0，得C(,0)；
2x22?y1对于②，令y?0，得D(,0)．
2x12?y12?y21?x121?x22???于是CD?． 2x12x22x12x21S?ECD?CD(1?x1x2)．不妨设x1?a?0，?x2?b?0，则
211?a21?b2111S?ECD?(?)(1?ab)?(2a?2b???a2b?ab2)
4ab4ab1111?(a?b)(2?ab?)≥?2ab?(2?ab?) ③ 4ab4abCOAEBDx不妨设ab?s?0，则有
3
1111111S?ECD?(s3?2s?)?(s3?s?..?s??...?)
2s2339s9s 6个 9个
12411619161161383≥?16??s??s)???]?8?()?8??)2?3． ④ 239s339333又由当x1?a?,x2??b??, s?时，③，④处的等号均可取到．
3338∴(S?ECD)min?3．
911注记：不妨设g(s)?(s3?2s?)，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．
2s1111由g?(s)?(3s2?2?2)知当0?s2?时g?(s)?0；当?s2时g?(s)?0．
2s33333则g(s)在(0,)上单调减，在(,??)上单调增．于是当s?时g(s)取得最小
333值．
4．向量OA与OB已知夹角，OA?1，OB?2，OP?(1?t)OA，OQ?tOB，
1（25分） 0≤t≤1．PQ在t0时取得最小值，问当0?t0?时，夹角的取值范围．
5【解析】 不妨设OA，OB夹角为?，则OP?1?t,OQ?2t，令
g(t)?PQ?(1?t)2?4t2?2?(1?t)?2tcos??(5?4cos?)t2?(?2?4cos?)t?1．
21?2c?os1?2x5．而f(x)?在(?,??)上单调增，故
5?4c?os5?4x41?2c?os1?1≤≤．
5?4c?os31?2cos?11?2cos?1?2?当0≤． ≤时，t0??(0,)，解得???5?4cos?35?4cos?523其对称轴为t?当?1≤1?2cos??0时，g(t)在[0,1]上单调增，于是t0?0．不合题意．
5?4cos??2?]． 23于是夹角的范围为[,5．存不存在0?x??，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列．（25分） 2(cosx?sinx)(cosx?sinx)【解析】 不存在；否则有cosx?sinx?cotx?tanx?，
sinxcosxcosx?sinx则cosx?sinx?0或者1?．
sinxcosx22?若cosx?sinx?0，有x?．而此时,,1,1不成等差数列；
224cosx?sinx若1?，有(sinxcosx)2?1?2sinxcosx．解得有sinxcosx?1?2．
sinxcosx11而sinxcosx?sin2x?(0,]，矛盾！
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