发布时间 : 星期四 文章历年来北大自主招生数学试题 - 图文更新完毕开始阅读7479b80054270722192e453610661ed9ad5155c2
2011年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试 数学试题 请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题。每题20分，共100分。
【试题解答】 1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长。 解析：平行四边形的对角线的平方和等于它四边的平方和，设另一条对角线长为x，所以x2?62?232?52,所以x?42。 ?? 2.求过抛物线y?2x2?2x?1和y??5x2?2x?3的交点的直线方程。 解析： 5
2??y?2x?2x?1解法一：由?2??y??5x?2x?3?1?，?1??5??2?得6x?7y?1?0，所以过抛物线?2?y?2x2?2x?1和y??5x2?2x?3的交点的直线方程6x?7y?1?0。 ??2?422?42x?x?2????y?2x?2x?1?1???77解法二：由?得或，所以过??2y??5x?2x?32????5?242??5?242??y?y???4949??抛物线y?2x2?2x?1和y??5x2?2x?3的交点的直线方程6x?7y?1?0。 3.在等差数列{an}中，a3??13,a7?3，数列{an}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的最小项，并指出其值为何？ 解析：因为a3??13,a7?3,所以d?4，所以an?4n?25， ?an?4n?25?02125法一：由?得?n?，又n?N，所以n?6，所以44?an?1?4?n?1??25?0?Sn?min?S6?6?a1?a6???66。 22n?a1?an?23?529?法二：由Sn?，所以当n?6，?2n2?23n?2?n???24?8??Sn?min?S6??66。 4.在?ABC中，a?b?2c，求证：?C?600. 2?a?b?3212a?b?a?b???222??2aba?b?c2??4?解析：因为cosC? ?2ab2ab2ab22 6
312ab?ab12 ?，当且仅当a?b时，\?\成立，又因为C??0,??，所以?C?600。?422ab 5.是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16？ 解析：设存在四个正实数a,b,c,d使得他们两两乘积为2，3，5，6，10，16，因为四个正实数a,b,c,d的两两乘积为ab,ac,ad,bc,bd,cd，把这些乘积乘起来，所以?abcd??2?3?5?6?10?16，又a,b,c,d为正实数，所以abcd?43450，所以在2，3，5，6，10，16中应存在两个数之积等于43450，显然这是不可能的，所以假设不成立，所以不存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16。 6.C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是平面上的一个动圆，C与C1，C2都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由. 解析：不妨设C1，C2和C的半径分别为r1,r2,r（r1?r2）， 3（1）当C1和C2相离时，即C1C2?r1?r2， （ⅰ）若C与C1，C2都外切，则CC1?r1?r，CC2?r2?r，所以CC1?CC2?r1?r2； 若C与C1，C2都内切，则CC1?r?r1，CC2?r?r2，所以CC2?CC1?r1?r2； 所以CC2?CC1?r1?r2?C1C2，由双曲线的定义，C的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r1?r2的双曲线；
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（ⅱ）若C与C1内切，C2外切，则CC1?r?r1，CC2?r2?r，所以CC2?CC1?r1?r2； 若C与C1外切，C2内切，则CC1?r?r1，CC2?r?r2，所以CC1?CC2?r1?r2； 所以CC2?CC1?r1?r2?C1C2，由双曲线的定义，C的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r1?r2的双曲线；
（2）当C1和C2外切时，即C1C2?r1?r2， （ⅰ）若C与C1，C2都外切，则CC1?r1?r，CC2?r2?r，所以CC1?CC2?r1?r2； 若C与C1，C2都内切，则CC1?r?r1，CC2?r?r2，所以CC2?CC1?r1?r2； 所以CC2?CC1?r1?r2?C1C2，由双曲线的定义，C的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r1?r2的双曲线；
（ⅱ）若C与C1内切，C2外切，则CC1?r?r1，CC2?r2?r（或CC1?r1?r，CC2?r2?r），所以CC2?CC1?r1?r2（或CC2?CC1?r1?r2）； 若C与C1外切，C2内切，则CC1?r?r1，CC2?r?r2（或CC1?r?r1，CC2?r2?r），所以CC1?CC2?r1?r2（或CC2?CC1?r1?r2）； 所以CC2?CC1?r1?r2?C1C2或CC2?CC1?r所以C的圆心的轨迹1?r2?C1C2，是过C1，C2的直线（除直线与圆C1、C2的交点外）；
（3）当C1和C2相交时，即r1?r2?C1C2?r1?r2，
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