发布时间 : 星期五 文章基于小波变换的图像处理方法研究（主要研究图像增强，包括源代码）更新完毕开始阅读747eee6148d7c1c708a14524
苏州科技学院本科生毕业设计（论文）
(2) 对0?r?1，对应有0?T(r)?1。
条件(1)使变换后的灰度值保持从黑到白的次序，且保持若T(r)已知则其逆变换T?1(s)存在；条件(2)保证变换后的像素灰度级仍在归一化的范围内。
通常把r和s分别看成两个随机变量，设pr(r)和ps(s)分别是r和s的概率密度函数。由概率论的基本理论可知：若pr(r)和T(r)的逆T?1(s)已知，则有：
ps(s)?pr(r)dr (2.4) ds也就是说，均衡化（变换）后的图像s的概率密度函数ps(s)是由原图的概率密度函数pr(r)和所选择的变换函数s?T(r)所决定的。换一句话说，直方图均衡图像增强技术的实质，就是选用合适的变换函数T(r)来修正图像灰度级r的概率密度函数pr(r)，从而得到灰度级具有ps(s)的新图像。
T(r)往往根据需要来选择，为了能从图像中获得尽量多的信息量，常常要求
pr(r)为一常数，即所谓直方图均衡化。图像中所有灰度出现频率相等的图像，所包含的信息量最大。为此，选取
s?T(r)??pr(?)d? (2.5)
0r即，选取变换函数为原图像概率密度函数的分布函数，则显然T(r)满足条件(1)和条件(2),又
dsdT(r)dr??(?pr(?)d?)?pr(r) (2.6) drdrdr0所以， ps(s)?pr(r)dr1?pr(r)?1 (2.7) dspr(r)故，这样选取的T(r)满足均衡化要求，使得均衡化后的图像灰度级是均匀分布的。这意味着图像灰度的动态范围得到增强，从而提高了图像的对比度。
在实际应用中，往往处理的是离散化后的数字图像。设离散化后图像的灰度级为r0,r1,r2,?,rL?1,其中L是最大灰度级。rk的概率为
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pr(rk)?nk(k?0,1,2,?,L?1) (2.8) n其中，n是数字图像的像素总数，nk是灰度级为rk的像素个数。离散化后的变换函数为： sk?T(rk)??pr(rj) k?0,1,2,?,L?1 (2.9)
j?0k利用(2.9)式可以把灰度级为rk的像素映射成相应的灰度级为sk的像素，从而实现均衡化。在上式中，用灰度频数来近似代替概率值，因而得到的结果是一个近似均匀的直方图分布。图2.4是采用直方图方式进行增强的例子：
(a)原图(b)原图直方图均衡化[4]
(c)原图的灰度直方图4003003002001000010020020010000 (d)均衡后的灰度直方图100200
图2.4 直方图均衡化增强算法
由图2.4可知，原图的灰度范围大约是100到200之间，灰度范围比较狭窄，所以整体上看对比度比较差，而直方图均衡化后，灰度几乎是均匀的分布在0到255的范围内，图像明暗分明，对比度很大，图像比较清晰明亮，很好地改善了原始图像的视觉效果。这说明直方图均衡化能够使处理后图像的概率密度函数服从均匀分布，扩张了像素值的动态范围。但这种方法不能抑制噪声，增强了图像的同时也增强了噪声。
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第三章 小波变换的理论基础
3.1 小波变换与傅里叶变换
3.1.1 小波变换的理论基础
小波变换是一种信号的时间-尺度分析方法，具有多分辨率分析的特点，而且在时间域和频率域都具有表征信号局部特征的能力，是一种时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，正是这种特性使小波变换具有对信号的自适应性。
3.1.2 小波变换和傅里叶变换的比较
傅里叶变换广泛应用于信号处理，但它只能较好地应用于平稳信号，只能提供信号的全局信息，缺少信号的局部信息。Gabor引入局部傅里叶变换，通过一个滑动窗，可以实现时频分析，这种方法具有局部化分析能力，但对于一个固定窗函数，它的分辨率也是固定的，只能应用于平稳信号的分析，对非平稳信号就无法分析。小波变换产生于传统傅里叶分析和短时傅里叶分析，能体现信号的局部信息，而且可以调整时间分辨率和频率分辨率的尺度，对非平稳信号的分析取得了较好的效果。
小波变换的理论基础来源于傅里叶分析，与傅里叶变换紧密联系在一起，傅里叶变换是小波基构造的主要理论依据，二者是相辅相成的，小波变换是对傅里叶变换的发展与提升。两者之间主要有如下差别：
(1) 傅里叶变换以{ej?t}为正交基，然后把能量有限信号f(t)分解到正交基对应的空间上去；小波变换以W?j(j?1,2,?,J)和V?j所构成的空间，再把能量有限信号f(t)分解到W?j(j?1,2,?,J)和V?j构成的空间上。
(2) 傅里叶变换的公式是固定的；小波分析中的小波函数具有多样性，在实际应用中，用不同的小波函数处理同一问题时，其处理结果有时会大相径庭。因此怎么选择小波函数处理实际问题是小波变换在应用中的一个难题，现有的方法是通过反复实验，通过对实验结果的比较，选择效果好的小波函数。
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(3) 傅里叶变换在频域中，尤其是作用到一些较平稳的信号，取得了较好局部化效果，傅里叶变换中的f(?)d?表示频率为?的谐波分量的振幅，f(t)的全局特性决定了f(?)d?。
(4) 小波分析中的尺度a相当于傅里叶变换中的?,a值越大对应?的值越小。
(5) STFT的变换系数S(?,?)取决于区间????,????的信号，?是由函数
g(t)唯一确定，时间宽度固定为2?。小波变换的变换系数Wi(a,b)取决于区间
^^?b?a??,b?a???的信号情况，其时间宽度为2a??,该时间宽度由尺度a决定，
随a变化而变化的，因此小波变换和傅里叶变换相比更具灵活性。
3.2 小波变换基本理论
3.2.1 一维连续小波变换(CWT)
在Fourier变换F(?)??f(t)e?jxdx中，用小波基函数?(x)做平移和伸缩
????x?b??x?b?jx变换，得到函数??,用????代替傅里叶变换的基函数e的伸缩函数
?a??a?ej?x,得到的新变换就称为连续小波变换，具体定义如下：
函数?(x)?L2(R)称为小波函数(又叫基本小波或母小波)，如果满足准许条件：
???(?)?d??? (3.1)
^2C???^??其中????为????的Fourier变换，则连续小波变换定义为：
(W?f)(a,b)?1a?????f(x)?*(x?b)dx (3.2) a 式中：a,b?R且a?0,a为缩放因子（对应于频率信息）；b为平移参数(对应于时空信息);?*(x)表示?(x)的复共轭。准许条件在f(t)?L2(R)下可以等价地表示为：
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