发布时间 : 星期一 文章将数学文化融入概率统计课程教学的案例研究与设计更新完毕开始阅读748f83e9abea998fcc22bcd126fff705cd175c4f
的两年才于1763年由他的朋友理查德·普莱斯帮助发表。它的数学原理很容易理解，简单说就是，如果你看到一个人总是做一些好事，则会推断那个人多半会是一个好人。这就是说，当你不能准确知悉一个事物的本质时，你可以依靠与事物特定本质相关的事件出现的多少去判断其本质属性的概率。用数学语言表达就是：支持某项属性的事件发生得愈多，则该属性成立的可能性就愈大。与其他统计学方法不同，贝叶斯方法建立在主观判断的基础上，你可以先估计一个值，然后根据客观事实不断修正。
1774年，法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯独立地再次发现了贝叶斯公式。拉普拉斯关心的问题是：当存在着大量数据，但数据又可能有各种各样的错误和遗漏的时候，我们如何才能从中找到真实的规律。拉普拉斯研究了男孩和女孩的生育比例。有人观察到，似乎男孩的出生数量比女孩更高。这一假说到底成立不成立呢？拉普拉斯不断地搜集新增的出生记录，并用之推断原有的概率是否准确。每一个新的记录都减少了不确定性的范围。拉普拉斯给出了我们现在所用的贝叶斯公式的表达：
P(B|A)?P(B)P(A|B)P(A)
该公式表示在A事件发生的条件下B事件发生的条件概率，等于B事件发生条件下A事件发生的条件概率乘以B事件的概率，再除以A事件发生的概率。公式中，P(B）也叫做先验概率，P(B|A)叫做后验概率。
在讲解贝叶斯公式这节内容之前，学生们已经具备了有关条件概率、全概率公式的相关知识，条件概率的公式为：
P(AB)?P(A)P(B|A)?P(B)P(A|B)；
即事件A和事件B同时发生的概率等于在发生A的条件下B发生的概率乘以A的概率。由此也可以推导出贝叶斯公式:
P(B|A)?P(B)P(A|B)P(A)，
即已知P(A|B),P(A)和P（B）可以计算出P(B|A)。
?为我们给出贝叶斯公式的定理形式：若B，B，12一列互不相容的事件，且
?Bi?1??i??
P(Bi)?0,i?1,2,?则对任一事件A，有
P(Bi|A）?，i?1,2，??P(Bj)P(A|Bj）??j?1P(Bi）P(A|B)
概率统计来源于生活，日常生活中随处可见它的身影，反过来，概率统计也应用于生产、生活、及科学技术的各个领域。因此，概率统计的教学要注重紧密联系实际，从实际生活中多寻找素材，展示概率统计的活力与魅力，切不可脱离实际，仅仅教给学生理论知识。下面通过一个典型的医学普查的例子，加深学生们对贝叶斯公式的理解和应用：
用甲胎蛋白法普查肝癌。令
C={被检验者患肝癌}；A={甲胎蛋白检验结果为阳性}
则 C={被检验者患肝癌}；A={甲胎蛋白检验结果为阳性}
由过去的资料已知 P(A|C)?0.95
P(A|C)?0.90 又已知某地居民的肝癌发病率为P(C)?0.0004。在普查中查出一批甲胎蛋白检验结果为阳性的人，求这批人中真正患有肝癌的概率P(C|A)。 解：由贝叶斯公式可得
P(C|A)?P(C)P(A|C)0.0004?0.95??0.0038P(C)P(A|C)?P(C)P(A|C)0.0004?0.95?0.9996?0.1
由此可知，经甲胎蛋白法检验为阳性的人群中，其中真正患有肝癌的人还是很少的（只占0.38%）。把
P(A|C)?0.90P(C|A)?0.0038和已知的
P(A|C)?0.95及
对比一下是很有意思的。当已知病人患
肝癌或为患肝癌时，甲胎蛋白检验的准确性应该说是比较高的，这从P(A|C)?0.95和P(A|C)?0.90可以肯定这一点。但如果未知病人是否患肝癌，而要从甲胎蛋白检验结果为阳性这一事实出发，来判断病人是否患肝癌，那么它的准确性还是很低的，因为P(C|A)只有0.0038。这个事实看来似乎有点矛盾，一种检验方法“准确性”很高，在实际使用时准确性却又很低，到底是怎么一回事呢？这从上述计算中用到的贝叶斯公式可以得到解释。 已知P(A|C)?0.1是不大的（这时被检验者为患肝癌，但甲胎蛋白检验结果为阳性，即检验结果是错误的），但是患肝癌的人毕竟很少（在本例中为P(C)?0.0004），于是为患肝癌的人占了绝大多数（P(C)?0.9996）,这就使得检验结果是错误的部分
P(C)P(A|C)相对很大。从而造成P(C|A)很小。那么，
上述结果是不是说明甲胎蛋白检验法不能用了呢？完全不是。通常医生总是先采取一些其他简单易行的辅助方法进行检查，当他怀疑某个对象