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人船模型的应用与拓展
李海华 湖北广水一中
摘 要：《动量守恒定律》这一模块在高考作为选修的必考内容其重要性不言而喻，而人
船模型作为《动量守恒定律的应用》的一个很重要的考点，也是学生必须掌握的一个模型。此模型的第一个难点在于利用微积分思想来实现速度到位移的过渡；第二个难点在于其在某一方向上动量守恒中的应用及相关拓展。所以深刻理解人船模型并掌握其解决的方法是解决这一类型题目的关键。
关键词：人船模型 动量守恒定律 微积分思想
在动量守恒定律的应用中，有一种典型的模型——人船模型。学生对这一模型的建立、理解与应用的难度较大，特别是由我们熟悉的人船模型拓展出来的相关应用更是不知所措。
一、人船模型的建立
实例：在平静的湖面上停泊着一条长L质量为M的小船，一质量为m的人站在船的一端，现人从船的一端走到另一端（不计水的阻力），求：此过程中人和船的位移大小。
解析：船在运动过程中受到水的阻力不计，故人和船组成的系统动量守恒。在人向船的另一端运动的过程中，船会向相反的方向运动。设某时刻人的速度大小为V人，此时船的速度大小为V船，则有
mV人＝MV船
根据分析可知，人和船在运动过程中，初末位置
图1
X船 X人 对比示意图如图1所示。设运动过程中人的位移大小为X人，船的位移大小为X船，则由图可知
X人＋X船=L
在运动过程中，人不一定是匀速的，故位移不一定为速度与时间的乘积，利用微分思想，设运动的总时间为t，在时间t内任取一段时间⊿t且⊿t→0，则有
V人⊿t＝⊿X人，V船⊿t＝⊿X船 （⊿X人和⊿X船分别为⊿t内人和船的位移大小）
由于mV人⊿t＝MV船⊿t，故m⊿X人＝M⊿X船 利用积分思想可知：mX人＝MX船 故X人＝说明：
1.由于在运动方向上人船组成的系统动量为零，故人走船行，人停船即止； 2.人和船运动的位移大小与人的运动性质无关；
3.由关于速度的方程转换为关于位移的方程也可用平均动量来过渡，但不好理解。 我们把这种人和船具有相对运动而衍生出来的关于动量守恒定律应用的模型称为人船模型。
（一）特点
1.系统由两部分组成（若为多部分也可以转化为两部分）； 2.系统总动量守恒且总动量为零； 3.组成系统的两部分有相对运动； 4.要求与位移相关的物理量。 （二）解法
1.画出运动过程中初末位置对比示意图，通过分析找出与位移相关的关系式； 2.列出运动过程中某时刻系统动量守恒的方程，如m1V1＝m2V2，再利用微积分的思想将其转换为与位移相关的方程，如m1X1＝m2X2；
3.联合两个与位移相关的方程即可求解。 二、人船模型的应用与拓展
（一）人船模型的直接应用。
这一类型的题目可以很直观的看出是对人船模型的考查，可以直接套用人船模型的解题方法便可解决。
例1 如图2所示，质量为m的人坐在质量为M的氢气球上，开始气球悬浮在离地为H的位置。问：现人顺着氢气球上所系轻绳爬到地面上来，轻绳至少需要多长？（不计空气阻力）
解析：分析可知，人和氢气球组成的系统开始悬浮空中，说明总重力与浮力平衡，系统动量守恒，故人在下滑的过程中，氢气球一定会上升，初末位置对比示意图如图所示。设轻绳至少需要的长度为L，氢气球上升的高度为h，则有
图2
X人 X球 MLmL X船＝ m+Mm+Mh＋H＝L
设在运动过程中，某时刻人的速度大小为V1，氢气球的速度大小为V2，则有 mV1＝MV2
利用微积分思想可得mH＝Mh 解得L＝
m+MH M﹝此题可以直接利用mH＝M（L－H）求解﹞ （二）人船模型应用的拓展。
这一类型表面上看似乎跟人船模型没什么关系，但仔细分析就会发现，尽管系统动量不守恒，但是系统在某一方向上动量守恒而且为零，故仍然可以应用人船模型的解题方法解决。
例2 如图3所示，一质量为M底边长为L的斜面体静止在水平地面上，另一质量为m的小斜面体固定在斜面顶端，其上表面刚好水平且长度为l，现使其由静止开始下滑，不计一切摩擦。求：从开始下滑到小斜面体下端刚好接触地面的过程中斜面体M的位移大小。
解析：这类题目的物理情景我们经常遇到，属于系统在某一方向上动量守恒的题目，现在增加了对人船模型的考查，故难度较大。经分析可知小斜面体和斜面体组成的系统在水平方向上动量守恒，而且在水平方向上完全符合人船模型的特点，故仍然可以
图3 l Xm XM 用其方法解决。
小斜面体沿斜面下滑的过程中，初末位置对比示意图如图所示，设斜面体的位移大小为XM，小斜面体的水平分位移大小为Xm，则有
XM＋Xm＋l＝L
设在下滑过程中，某时刻小斜面体在水平方向的分速度大小为V1，斜面体的速度大小为V2，则有
mV1＝MV2
利用微积分思想可得mXm＝MXM 解得XM＝
m(L-l) m+M例3 如图4所示，一带固定支架的小车静止在光滑的水平地面上，小车及支架的总质量为M，支架顶端用一不可伸长的轻绳系一质量为m的小球，轻绳长度为L。现将小球拉
至细线处于水平伸直状态，然后由静止释放。求：
⑴从释放到摆到最低点的过程中小车的位移大小； ⑵小球摆到最低点时小球和小车的速度大小。 解析：此题与例2非常类似，仍然属于系统在某一方向上动量守恒的题目，只是物体的运动情形发生了改变，而且是一道具有代表性的题目。
⑴小球在摆到最低点的过程中，初末位置对比示意图如图所示，设小球在水平方向的分位移大小为X球，小
图4 X车 X球 车的位移大小为X车，则有 X球＋X车＝L
经分析系统在水平方向上动量守恒而且为零，设在小球下摆过程中，某时刻小球在水平方向的分速度大小为V球，小车的速度大小为V车，则有
mV球＝MV车
利用微积分思想可得mX球＝MX车 解得X车＝
mL m+M⑵小球摆到最低点时的速度刚好是水平的，设在最低点时，小球的速度大小为V1，小车的速度大小为V2，则有
mV1＝MV2
11而下滑过程中系统机械能也守恒，故有mgL=mV12?MV22
222MgL2m2gL解得V1= V2= m+MM2+Mm
参考文献：陈海鸿，《高中物理奥林匹克竞赛解题方法大全》，山西教育出版社，2008.4第3版，P.32—50。