发布时间 : 星期三 文章数字信号处理期末试题及答案更新完毕开始阅读74abb33901d8ce2f0066f5335a8102d276a2610f
求一个能从y?n?恢复x?n?的稳定的滤波器．
解：因为X(z)?与Y(z)的关系如下：
以y[n]为输入，x[n]为输出的系统函数为： 注意到：G(z)?F(z)，且 F(z)的极点在：
ndF(z)?11?0.5z?1?0.25z?2
?ndr'?(0.5)它在单位圆内半径为r=处，所以G(z)的极点在单位圆内处，所以G(z)是可实现的。
《数字信号处理》
1． 1．? (8分) 确定下列序列的共扼对称、共扼反对称或周期共扼对称、周期共扼反对称部分： (a) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2} (b) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}?
2. (8分) 下式给出系统的输入与输出关系，判断它是线性的还是非线性的，移位不变
还是移位变化的，稳定还是不稳定的，因果的还是非因果的。 3. (6分) 确定下列序列的平均功率和能量
4．(6分)已知x[n]（0?n?N?1）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为X[k]
（1） （1）?????? 用X[k]表示序列v[n]?x[?n?3?N]的DFT变换 （2） （2）?????? 如果x[n]??（0?n?N?1），求其N点DFT。?
nH(z)?5．. (8分)确定下列数字滤波器结构的传输函数?
X(z) 以以下形式实现传输函数为6．(10分)?22 H(z)?(1?0.7z?1)5?1?3.5z?1?4.9zk?3.43z?3?1.2005z?4?0.16807z?5
的FIR系统结构。 -k1 (1) (1)??? 直接形式 -k2 (2) 一个一阶系统，两个二阶系统的级联。 Y(z)X(z)
Z-1 7. (10分)低通滤波器的技术指标为： Z-1 用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。
8．(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，通
a2 带内等波纹，且 a1 0.9?H(ej?)?1.09.（10分））信号y[n]包含一个原始信号x[n]和两个回波信号： y[n]=x[n]+[n-nd]+[n-2nd]
求一个能从y[n]恢复x[n]的可实现滤波器．
Y(z) 0.3 ?????。
z?1?a*H(z)?1?az?1， 这里a?1 10 (14分))一个线性移不变系统的系统函数为
(a) 求实现这个系统的差分方程
(b) 证明这个系统是一个全通系统（即频率响应的幅值为常数的系统） (c) H(z)和一个系统G(z)级联，以使整个系统函数为1，如果G(z)是一个稳定系统，求单位采样响应 g(n)。 附录：
表1 一些常用的窗函数 矩形窗(rectangular window) 汉宁窗(Hann window) 汉明窗(Hamming window) 布莱克曼窗(Blackman window) Window Transition bandwidth ?? ?/M 表2 一些常用窗函数的特性 Main Lobe width ?ML Relative Minimum sidelobe level stopband Asl attenuation 4?/(2M+1) Rectangular Hann Hamming Blackman 8?/(2M+1) ?/M 8?/(2M+1) ?/M 12?/(2M+1) ?/M ?c=1归一化巴特沃兹滤波器的系统函数有以下形式： 表3 阶数1? N? 5归一化巴特沃兹滤波器系统函数的系数 N a1 a2 a3 a4 a5 1 2 3 4 5 《数字信号处理》考试答案
总分：100分
2． 1．? (8分) 确定下列序列的共扼对称、共扼反对称或周期共扼对称、周期共扼反对称部分： (a) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2} (b) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}
*{h解：(a) [?n]}?{?7?j2,3?j,5?j6,4?j3,?2?j5} *h(b)[N?n]?{?2?j5,?7?j2,3?j,5?j6,?4?j3}
2. (8分) 下式给出系统的输入与输出关系，判断它是线性的还是非线性的，移位不变还是移位变化的，稳定还是不稳定的，因果的还是非因果的。
解： (a) 令：对应输入x1[n]的输出为y1[n]，对应输入x2[n]的输出为y2[n],对应输入x[n]=x1[n]+x2[n]的输出为y[n]，则有
所以此系统为线性系统。
(b) (b)??????????????????? 设对应x[n]的输出为y[n]，对应输入x1[n]＝x[n-n0]的
输出为y1[n],则 此系统为移位变化系统。 (c )假设x[n]?B，则有 所以此系统为BIBO稳定系统。 (d)此系统为非因果系统。
?3. (6分) 确定下列序列的平均功率和能量 能量为： 功率为：
?4．(6分)已知x[n]（0?n?N?1）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为X[k]
（3） （1）?????? 用X[k]表示序列v[n]?x[?n?3?N]的DFT变换
nx[n]??（4） （2）?????? 如果（0?n?N?1），求其N点DFT。 3k?j6?k/NV[k]?WX[k]?eX[k] N解：(1)
(2)
nknkX[k]??x[n]WN???nWN???Wn?0n?0n?0N?1N?1N?1?knN?k1??WN?k1??WN??N
H(z)?5．. (8分)确定下列数字滤波器结构的传输函数? V[z] ?1?1?1X(z) ?k1z(?k2V(z)?zV(z))?k2X[z]z V(z)?V(z) 解：
1V(z)?X(z)?1?21?(k?kk)z?kz-k 12121 则 ?1?1?1(z?k)V(z)?z??zV(z)?Y(z) 212又
-1?1ZY[z]?[(??k???1z?2]V(z) 221) z则有
Y(z)X(z)
k2 -k2 Z-1 6．(10分)以以下形式实现传输函数为a2 ?35?1?2?4?5H(z)?(1?0.7z?1)a1 ?1?3.5z?4.9z?3.43z?1.2005z?0.16807z
的FIR系统结构。 (2) (1)??? 直接形式 (2) 一个一阶系统，两个二阶系统的级联。
Y(z)
x[n
z -1解：(1)
1 z -1z -1 z -1z -1y[n
?15?1?1?2?1?2H(z)?(1?0.7z)?(1?0.7z)(1?1.4z?0.49z)(1?1.4z?0.49z) (2) ?
7. (10分)低通滤波器的技术指标为： y[n
x[n用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。 -1-1-1z z z 解：用窗函数法设计的低通滤波器，其通带、阻带内有相同的波动幅度。由于滤波器技术指标中的 通带、、阻带波动相同，所以我们仅需要考虑阻带波动要求。阻带衰减为20log=-40dB，我们可以采 -1-1用汉宁窗，虽然也可以采用汉明窗或布莱克曼窗，但是阻带衰减增大的同时，过渡带的宽度也会增z z 加，技术指标要求过渡带的宽度为????s??p?0.05?。由于 M??= ?, 2?n??0.5?0.5cos()?M?n?Mw[n]??3.11?2M?1M??52?0其它?0.05?所以：， 且：
?c?(?s??p)/2?0.325?一个理想低通滤波器的截止频率为
，所以滤波器为：
sin(?c(n?M))w[n?M]?(n?M) ，0?n?2M
8．(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，通带内等波纹，且
ht[n]?hd[n?M]w[n?M]?0.9?H(ej?)?1.0 0.3?????。
解： 我们可以用两种方法设计离散时间高通滤波器。我们可以设计一个巴特沃兹模拟低通滤波器，然后用双线性变换映射为巴特沃兹低通滤波器，再在z域进行低通到高通的转换。另一种方法是在双线性变换前就在s平面域进行低通到高通的转换，然后用双线性变换将模拟高通滤波器映射为离散时间高通滤波器。两种方法会得到同样的设计结果。我们采用第二种方法，更容易计算。
??0.3? 我们要设计一个高通滤波器，阻带截止频率为?c?0.1?，通带截止频率为p，且
12A=1/=10, 1??先将数字滤波器的技术指标转换到连续时间域。Ts=2, 且
有：
?0.9???199=
?将这些高通滤波器的截止频率为映射为低通滤波器的截止频率，我们有 用变换s?1/s所以模拟滤波器的选择因子(transition ratio or electivity parameter)为 判别因子(discrimination parameter)为： 因此，所需的巴特沃兹滤波器的阶数为： 我们取N=3, 则
??s?2.1509， 如取?c?2.5，则所求得的低通巴特沃兹滤波器为： 我们可取 0.7853?将低通滤波器转换为高通滤波器： 用低通到高通的转换关系s?1/s????c??p1?z?1s?1?z?1最后采用双线性变换
9.（10分））信号y[n]包含一个原始信号x[n]和两个回波信号： y[n]=x[n]+[n-nd]+[n-2nd]
求一个能从y[n]恢复x[n]的可实现滤波器． 解：因为X(z)?与Y(z)的关系如下：
以y[n]为输入，x[n]为输出的系统函数为： 注意到：G(z)?F(z)，且 F(z)的极点在：
ndF(z)?11?0.5z?1?0.25z?2
?ndr'?(0.5)它在单位圆内半径为r=处，所以G(z)的极点在单位圆内处，所以G(z)是可实现的。?
z?1?a*H(z)?1?az?1， 这里a?1 10 (14分))一个线性移不变系统的系统函数为
(a) 求实现这个系统的差分方程
(b) 证明这个系统是一个全通系统（即频率响应的幅值为常数的系统） (c) H(z)和一个系统G(z)级联，以使整个系统函数为1，如果G(z)是一个稳定系统，求单位采样响应 g(n)。
Y(z)z?1?a*H(z)??X(z)1?az?1 解：(a)
对方程的两边进行反z变换：