发布时间 : 星期一 文章2019届高考数学大一轮复习讲义：第四章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式 2更新完毕开始阅读74b2e8e0bf1e650e52ea551810a6f524cdbfcb00
§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式：sinx＋sin xcos2x＝1，cos x＝tan x． π2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，2π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 2考情考向分析 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力．题型为选择题和填空题，低档难度.
1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. sin απ
(2)商数关系：＝tan α(α≠＋kπ，k∈Z)．
cos α22．三角函数的诱导公式
公式 角 正弦 余弦 正切 口诀
知识拓展
1．同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α. 2．诱导公式的记忆口诀
一 2kπ＋α(k∈Z) sin α cos α tan α 二 π＋α －sin α －cos α tan α 三 －α －sin α cos α －tan α 四 π－α sin α －cos α －tan α 五 π－α 2cos α sin α 六 π＋α 2cos α －sin α 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
π
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称
2的变化．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( × ) (2)若α∈R，则tan α＝sin α
cos α
恒成立．( × )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ×(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sin α＝1
3.( × )
题组二 教材改编 2．若sin α＝55，π
2
<α<π，则tan α＝. 答案 －1
2 解析 ∵π
2
<α<π，
∴cos α＝－1－sin2α＝－25
5，
∴tan α＝sin α1
cos α＝－2
.
3．已知tan α＝2，则sin α＋cos α
sin α－cos α的值为．
答案 3
解析 原式＝tan α＋12＋1
tan α－1＝2－1
＝3.
cos?4．化简?α－π2??·sin(α－π)·cos(2πsin?5?2π＋α?－α)的结果为．
?答案 －sin2α
解析 原式＝sin α
cos α·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
题组三 易错自纠 5．设tan α＝
33，π<α<3π
2
，则sin α－cos α的值为( ) )
13A．－＋ 2213C.＋ 22答案 A 解析 ∵tan α＝
33π，π<α<， 32
13B．－－ 2213D.－ 22
13
∴sin α＝－，cos α＝－，
221313
∴sin α－cos α＝－－?－?＝－.
2?2?22
π1
－，0?，则tan(2π－α)的值为( ) 6．已知sin(π－α)＝log8，且α∈??2?425A．－
525C．±
5答案 B
12
解析 sin(π－α)＝sin α＝log8＝－，
43π5
－，0?，得cos α＝1－sin2α＝， 又α∈??2?3sin α25
tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.
cos α5
π??2cos 3x，x≤2 000，
7．(2018·聊城模拟)已知函数f(x)＝?则f(f(2 018))＝.
??x－18，x>2 000，答案 －1
解析 ∵f(f(2 018))＝f(2 018－18)＝f(2 000)， 2 000π2π
∴f(2 000)＝2cos＝2cos ＝－1.
33
25
B. 5D.5 2
题型一 同角三角函数关系式的应用
12
1．(2017·长沙模拟)已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α等于( )
13551212A．－ B. C．－ D.
131355答案 C
12
解析 因为α是第四象限角，sin α＝－，
135sin α12
所以cos α＝1－sin2α＝，故tan α＝＝－.
13cos α5
3
2．(2017·安徽江南十校联考)已知tan α＝－，则sin α·(sin α－cos α)等于( )
4212545A. B. C. D. 252154答案 A
解析 sin α·(sin α－cos α)＝sin2α－sin α·cos α
?－3?2－?－3??4??4?21sinα－sin α·cos αtanα－tan α3
＝＝，将tan α＝－代入，得原式＝＝.
4325sin2α＋cos2αtan2α＋12?－?＋1
?4?
2
2
3．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A．－1 C.2 2
B．－D．1
2 2
答案 A
?sin α－cos α＝2，
解析 由?2
?sinα＋cos2α＝1，
消去sin α得2cos2α＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)2＝0，∴cos α＝－3π
又α∈(0，π)，∴α＝，
43π
∴tan α＝tan＝－1.
4
思维升华 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确sin α
定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
cos α
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 题型二 诱导公式的应用
2
. 2
5π5π
sin ，cos ?，则角α的最小正值为( ) 典例 (1)已知角α的终边上一点的坐标为?66??5π
A. 6
5πB. 3