发布时间 : 星期日 文章2017-2018学年八年级数学上册第14章 整式乘法与因式分解综合复习 - 图文更新完毕开始阅读753c456168eae009581b6bd97f1922791688be06
分析：这是一道说理性试题，既然把“x?2005”错抄成了“x?2050”，但计算结果正确，于是可以猜测此式子化简后与x的值无关。所以这时应从式子的化简入手，揭开它的神秘面纱。 22解：因为(2x?3)(3x?2)?6x(x?3)?5x?16?6x?4x?9x?6?6x?18x?5x?16?22，即原式化简后得22，所以式子的值与x的取值无关，故把“x?2005”错抄成“x?2050”计算结果也是正确的。 （三）考查乘法公式 例6．如下图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a?b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式__________. b b b b a b b a a a 分析：这是一道与乘法公式相关的创新题，题目借助于图形的分拆与拼接，通过图形面积的不同表示形式，验证了乘法22公式。从左图中可知阴影部分的面积是两个正方形的面积之差，即a?b，由右图可知梯形的上底是2b，下底是2a，1(2a?2b)(a?b)?(a?b)(a?b)a?b2高为，所以梯形的面积为，根据阴影部分的面积相等，可得乘法公式a2?b2?(a?b)(a?b)。 22a?b?(a?b)(a?b)。 解：验证的乘法公式是2a?b?8,ab?12(a?b)例7．已知，求的值。 分析：完全平方公式的主要变形我们要熟悉：①a?b?(a?b)?2ab?(a?b)?2ab；②2222(a?b)2?(a?b)2?2(a2?b2)；③(a?b)2?(a?b)2?4ab。这道题用③可以解决。 2222(a?b)?(a?b)?4ab(a?b)?(a?b)?4ab。 解：由完全平方公式，得，所以22a?b?8,ab?12(a?b)?8?4?12?64?48?16。 因为，所以248(2?1)(2?1)(2?1)(2?1)?1. 例8．计算：分析：直接计算显然非常繁琐易错，观察该式中四个因式的规律，如果再增添一个因式(2?1)便可连续应用平方差公式，问题就能迎刃而解。 解：(2?1)(2?1)(2?1)(2?1)?1?(2?1)(2?1)(2?1)(2?1)(2?1)?1 248248?(22?1)(22?1)(24?1)(28?1)?1?(24?1)(24?1)(28?1)?1?(28?1)(28?1)?1?216?1?1?216
（四）考查因式分解的意义与方法 例9．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为( ) （A）a(x?y)?ax?ay 22x （B）?4x?4?x(x?4)?4 2（C）10x?5x?5x(2x?1) （D）x?16?3x?(x?4)(x?4) 分析：解答此类题目要充分理解分解因式的定义和具体要求。显然（A）属于整式乘法，（B）只是分解了局部，没有完全化成整式的积的形式，而（D）虽然等式右边是一个多项式，左边是整式的积的形式，但由平方差公式可知(x?4)(x?4)是x?16分解的结果，所以式子在变形过程中丢掉了“?3x”，不属于恒等变形，因而也不属于分解因式。解：选（C）。 2121x?xy?y22的值. 例10．已知x+y=1，求2分析：通过已知条件不能求出x、y的值，所以要考虑把所求式子进行变形，构造出x?y的整体形式，因此观察系数的特点，可考虑将所求的式子进行因式分解。 1211111x?xy?y2?(x2?2xy?y2)?(x?y)2??12?22222。 解：222(n?5)?(n?1)n例11．为整数，试证明的值一定能被12整除。 22(n?5)?(n?1)分析：要证明的值能被12整除，只要将此式分解因式，使12成为其中的一个因式即可。 22(n?5)?(n?1)?[(n?5)?(n?1)][(n?5)?(n?1)]?(2n?4)?6?2(n?2)?6?12(n?2)，解：因为n为整数，所以n?2也为整数，2212(n?2)(n?5)?(n?1)故能被12整除，即的值一定能被12整除。 （五）考查完全平方式 例12．多项式9x?1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是_______（填上一个你认为正确的即可） 222222a?2ab?b?(a?b)分析：根据完全平方公式的特点，若9x?1表示了a?b的话，则有a?3x,b?1，所以，缺2222?2ab??2?(3x)?1??6x9x?1?6x?(3x?1)9x?12ab?b少的一项为，此时，；如果认为表示了的话，则有2a?4.5x2,b?1，所以，缺少的一项为a2?(4.5x2)2?20.25x4，此时20.25x4?9x2?1?(4.5x2?1)2。从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面提到的多项式，以可以是单项式。注意到9x2?(3x)2,1?12，所以，保留二项式9x2?1中的任何一项，都是“一个整式的完全平方”，故所加单项式还可以是?122222229x?1?1?9x?(3x)?9x9x?1?9x?1或者，此时有，或者。 解：所加上的单项式可以是?6x、20.25x、?1或者?9x。 （六）考查归纳探究的能力 42
例13．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原 4422x?y(x?y)(x?y)(x?y)，理是：如对于多项式，因式分解的结果是若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x?y) 2232(x?y)(x?y)4x?xy=0，=18，=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是： (写出一个即可)． 分析：这是一道在分解因式的基础上设计的与密码有关的创新题，解决这个问题，必须理解密码的转换方法。要得到密3232224x?xy4x?xy?x(4x?y)?x(2x?y)(2x?y)或等于(2x?y)x(2x?y)或等码，只需将分解因式即可。因为于(2x?y)x(2x?y)，取x?10，y?10时，2x?y?2?10?10?30，2x?y?2?10?10?10，所以产生的密码为101030，或103010，或301010。 解：101030，或103010，或301010。 例14．（2006，广东）按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ （1）填写表内空格： 输入x 输出答案 3 0 2 -2 13 x 平方 ?x ?2 1?x2 2?1x 2答案 ? ? （2）你发现的规律是________________________________. (3)用简要过程说明你发现的规律的正确性。 1分析：将2、?2、3分别代入程序计算，可以发现计算结果都为0，于是可猜想无论输入任何数，计算结果都为0，再根据整式的运算验证即可。 解：（1）0，0，0；（2）输入任何数的结果都为0； x2?x1211111?x?x?x2?x?x2?x?0222222（3）因为2，所以无论x取任何值，结果都为0，即结果与字母x的取值无关。